Метод Фурье
Алгоритм решения
1. Выписываем ассоциированную задачу Штурма-Лиувилля
(p(x)u ')' q(x)u u, a x b
(x)
1u(a) 1u '(a) 02u(b) 2u '(b) 0
находим собственные значения и выбираем для каждого собствен- ного значения по одной собственной функции
{ k }k 1 , {uk (x)}k 1
2. Вычисляем квадраты норм собственных функций
b
|| uk ||2 (x) | uk (x) |2 dx
a
Метод Фурье
3. Вычисляем коэффициенты Фурье исходных данных
|
|
|
1 |
|
|
b |
|
||
|
|
|
|
|
(x) (x)u (x)dx |
||||
k |
|
|
|
||||||
|
|
|| u |
||2 |
|
|
k |
|||
|
|
|
|
k |
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
b |
|
fk |
(t) |
|
|
|
f (x,t)uk (x)dx |
||||
|| u |
|
|
|||||||
|
|
|
|
||2 |
|||||
|
|
|
|
|
k |
|
|
a |
|
4. Вычисляем коэффициенты Фурье решения задачи по формуле
t
Tk (t) k e k t fk ( )e k (t )d
0
5. Выписываем решение исходной задачи
u(x,t) Tk (t)uk (x)
k 1
Метод Фурье
Частный случай однородного уравнения
|
|
u |
|
|
|
|
u |
|
||
(x) |
t |
|
|
|
|
p(x) |
|
|
||
|
|
|
||||||||
|
|
|
x |
|
x |
|
||||
u(x,0) (x), a x b |
|
|||||||||
u(a,t) |
|
|
u |
(a,t) 0, |
||||||
1 |
|
|
|
|
1 x |
|
|
|
||
|
u(b,t) |
|
u |
(b,t) 0, |
||||||
2 |
|
|
|
|
|
2 x |
|
|
|
|
q(x)u, a x b, t 0
t 0
t 0
|| u ||2 |
b |
|
(x) |2 |
|
|
|
1 |
|
b |
|
|
(x) | u |
dx, |
|
|
|
(x) (x)u |
(x)dx |
|||||
k |
|
|
|||||||||
k |
|
k |
|
|
|
|| u |
||2 |
k |
|
||
|
a |
|
|
|
|
|
k |
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u(x,t) k e k tuk (x)
k 1
Метод Фурье
Метод Фурье для одномерного гиперболического уравнения.
|
|
|
|
2u |
|
|
|
u |
||
(x) |
t |
2 |
|
|
p(x) |
q(x)u f (x,t), a x b, t 0 |
||||
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
x |
|
x |
|||
u(x,0) (x), a x b |
||||||||||
|
u |
(x,0) (x), a x b |
||||||||
|
|
|||||||||
|
t |
|
|
|
u |
|
|
|||
u(a,t) |
(a,t) 0, t 0 |
|||||||||
1 |
|
|
|
|
1 x |
|
|
|||
|
u(b,t) |
u |
(b,t) 0, t 0 |
|||||||
2 |
|
|
|
|
|
2 x |
|
|
||
Метод Фурье
Ассоциированная задача Штурма-Лиувилля
(p(x)u ')' q(x)u u, a x b
(x)
1u(a) 1u '(a) 02u(b) 2u '(b) 0
Решение ассоциированной ЗШЛ – последовательность всех собственных значений и собственных функций, взятых по одной для каждого собственного значения:
{ } |
|
|
, {u (x)} |
|
|
|
|
||||
k |
|
k 1 |
k |
|
k 1 |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
Метод Фурье
Эвристический подход к ассоциированной ЗШЛ
|
2u |
|
|
u |
|
||
(x) |
t |
2 |
|
|
p(x) |
|
q(x)u |
|
|||||||
|
|
|
x |
x |
|
||
u(x,t) T (t)X (x)
|
T '' X T |
pX ' ' q(x)TX , T '' |
|
pX ' ' q(x)X |
|
|
|
|
|
|
||||||||
X |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
T |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
T '' T , |
|
pX ' ' q(x)X |
X |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
u(a,t) |
|
(a,t) 0 T (t)X (a) T (t)X '(a) 0 |
|
X (a) |
X '(a) 0 |
|
||||||||||||
1 |
|
1 x |
1 |
|
1 |
|
1 |
1 |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
u |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
u(b,t) |
|
(b,t) 0 T (t)X (b) T (t)X '(b) 0 |
|
X (b) |
|
X '(b) 0 |
|
||||||||||
2 |
|
|
2 x |
2 |
|
2 |
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|||||
Метод Фурье
u(x,t) Tk (t)uk (x)
k1
(x) 2u p(x) u q(x)u f (x,t), a x b, t 0
t2 x x
|
|
(x) Tk ''(t)uk (x) Tk (t) |
|
k 1 |
k 1 |
|
|
Tk ''(t)uk (x) Tk (t |
|
k 1 |
k 1 |
|
|
|
|
|
|
p(x)uk ' ' q(x)Tk (t)uk f (x,t) |
|||||
|
k 1 |
|
|
|
|
) |
p(x)uk ' ' q(x)uk |
|
f (x,t) |
|
|
(x) |
(x) |
||||
|
|
||||
Tk ''(t)uk (x) kTk (t)uk f (x,t) |
||
|
|
|
k 1 |
k 1 |
(x) |
Метод Фурье
Tk
k 1
''(t)uk (x) kTk (t)uk f (x,t) |
|
|
|
k 1 |
(x) |
|
|
|
|
|
f (x,t) fk (t)uk (x), |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(x) |
k 1 |
|
|
|
||
|
|
|
1 |
b |
f (x,t) |
|
1 |
b |
|
||
f |
|
(t) |
(x) |
u (x)dx |
f (x,t)u (x)dx |
||||||
|
|| u ||2 |
|
|| u ||2 |
||||||||
|
k |
|
|
(x) |
k |
|
k |
||||
|
|
|
k |
a |
|
|
|
k |
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Tk ''(t)uk (x) |
kTk (t)uk fk (t)uk (x) |
|
||||||
|
|
|
k 1 |
|
|
k 1 |
|
k 1 |
|
|
|
Tk ''(t) kTk (t) fk (t)
Метод Фурье
u(x,t) Tk (t)uk (x), u (x,t) Tk '(t)uk (x) |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k 1 |
|
t |
k 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u(x,0) (x) |
Tk (0)uk (x) (x) |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
k 1 |
|
|
|
|
u |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(x,0) (x) Tk '(0)uk (x) (x) |
|
|
||||||||||
t |
|
|
|
|
|
|
k 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(x) (x)u (x)dx T (0) |
|
|
|
|||
k |
|
|
|
|
k |
|
||||||
|
|
|| u |
||2 |
|
|
k |
k |
|
|
|||
|
|
|
|
k |
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(x) (x)u (x)dx T '(0) |
|
||||||
k |
|
|
|
k |
||||||||
|
|
|
|| u |
||2 |
|
|
k |
k |
|
|
||
|
|
|
|
k |
|
|
a |
|
|
|
|
|
Метод Фурье
|
Tk ''(t) kTk (t) fk (t) |
|
|
||
|
T |
(0) |
k |
k |
k |
|
k |
|
|
|
|
|
|
'(0) k |
|
|
|
|
Tk |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cos t |
k |
sin t |
1 |
t |
( )sin (t )d , |
0 |
|||||
|
f |
||||||||||||
|
k |
||||||||||||
|
|
||||||||||||
|
|
k |
|
|
|
k |
|
k |
k |
k |
|
||
|
|
|
|
|
k |
k 0 |
|
|
|
||||
Tk (t) |
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
t f |
( )(t )d , 0 |
|
|
|||||||
|
k |
|
|
||||||||||
|
k |
|
k |
|
|
|
k |
|
|
|
|||
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|