Задача Штурма-Лиувилля
|
v(x)div p(x) u(x) dx v(x) p(x) |
u(x) dS p(x)( v(x), u(x))dx |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
v(x)div p(x) u(x) dx |
q(x)u(x)v(x)dx |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
v(x) p(x) |
u(x) dS p(x)( v(x), u(x))dx q(x)u(x)v(x)dx |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
v(x) div p(x) u(x) q(x)u(x) dx |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
div p(x) u(x) q(x)u(x) |
|
|
||||||
|
(x) |
|
|
|
|
|
v(x)dx (Lu,v) |
|||
|
|
(x) |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(Lu,v) p(x)v(x) |
u(x) |
dS p(x)( u(x), v(x))dx q(x)u(x)v(x)dx |
|||||||
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Задача Штурма-Лиувилля
Частный случай: оператор Лапласа
|
p(x) 1, q(x) 0, (x) 1 |
|
||||||
Lu |
div( u) |
u |
2u |
|
2u |
... |
2u |
|
1 |
x2 |
x2 |
x2 |
|||||
|
|
|
|
|||||
|
|
|
1 |
|
2 |
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
v(x) u(x)dx v(x) |
u(x) |
dS ( u(x), v(x))dx |
|||||
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
v(x) u(x) u(x) v(x) dx |
|
v(x) u(x) |
u(x) v(x) |
||||
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
dS
u(x) u(x)dx u(x) |
u(x) |
dS | |
2 |
|
|
u(x) | dx |
|||
|
|
|
|
|
Задача Штурма-Лиувилля
Самосопряженность |
|
|
|||
|
|
u(x) |
u(x) |
v(x) |
|
(Lu,v) (u, Lv) p(x) v(x) |
|
|
dS |
||
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u |
||
u |
|
||
|
|||
|
|||
|
v |
||
|
|
||
v |
|
|
|
|
|
||
|
|||
0 |
|
u |
|
u |
|
|
|
|
u |
|
v |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
0 |
|
v |
u |
0 |
|||||
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
v |
|
|
|
|||||||
0 |
|
v |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
(Lu,v) (u, Lv) 0 (Lu,v) (u, Lv)
Задача Штурма-Лиувилля
Интеграл энергии
(Lu,u) p(x)u(x) |
u(x)dS p(x) | u(x) |2 dx q(x) | u(x) |2 dx |
||
|
|
|
|
(x)u (x) |
u |
0 |
|||||
|
|||||||
|
|
|
|
|
|||
|
u |
|
(x)u |
, (x) 0 |
|||
|
|
(x) |
|||||
|
|||||||
|
|
|
|
||||
u 0, (x) 0
p(x)u(x) |
u(x)dS p(x)u(x) |
u(x)dS |
||
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
p(x)u(x) |
u(x)dS p(x)u(x) |
(x)u(x)dS |
||
|
|
|
|
(x) |
0 |
|
0 |
|
|
(Lu,u) p(x) | u(x) |2 dx q(x) | u(x) |2 dx |
(x) |
p(x) | u(x) |2 dS |
|
|
|
(x) |
|
0
Задача Штурма-Лиувилля
Неположительность
(Lu,u) p(x) | u(x) |2 dx q(x) | u(x) |2 dx |
(x) |
p(x) | u(x) |2 dS |
|||||
|
|
|
|
|
(x) |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p(x) 0,| u(x) |2 0 |
p(x) | u(x) |2 |
dx 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
q(x) 0,| u(x) |2 0 q(x) | u(x) |2 |
dx 0 |
|
|
|
|
||
|
|
|
(x) |
|
|
|
|
(x) 0, (x) 0, p(x) 0,| u(x) |2 0 |
|
p(x) | u(x) |2 dS 0 |
|||||
|
|
|
(x) |
|
|
|
|
0
(Lu,u) 0
Задача Штурма-Лиувилля
Неположительность собственных значений
Lu u,u 0
|
2 |
|
|
(Lu,u) ( u,u) (u,u) || u || 0 |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
||
|| u ||2 |
0 |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
Ортогональность
Lu 1u, Lv 2v, 1 2
1(u,v) ( 1u,v) (Lu,v) (u, Lv) (u, 2v) 2 (u,v) ( 1 2 )(u,v) 0 (u,v) 0
Задача Штурма-Лиувилля
Характеристика нулевого собственного значения
q(x) 0, (x) 0, u(x) const 0 |
|
|||
Lu div( p(x) (const)) 0 const |
0 0 u |
|||
|
|
(x) |
|
|
(x)u (x) |
u |
0 const (x) |
(const) |
0 |
|
|
|||
|
|
|
||
Lu 0 (Lu,u) 0
p(x) | u(x) |2 dx q(x) | u(x) |2 dx |
(x) |
p(x) | u(x) |2 dS 0 |
|
|
|
(x) |
|
0
Задача Штурма-Лиувилля
|
p(x) | u(x) |2 dx 0, q(x) | u(x) |2 dx 0, |
(x) p(x) | u(x) |2 |
dS 0 |
||||
|
|
|
|
|
(x) |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p(x) | u(x) |2 dx 0 |
p(x) | u(x) |2 0 |
u(x) 0 u const |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|||
|
0= q(x) | u(x) |2 |
dx q(x) | const |2 dx | const |2 q(x)dx q(x) 0 |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|||
|
0 (x)u (x) |
u |
(x) const (x) (const) (x) const |
(x) 0 |
|||
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
q(x) 0, (x) 0, u(x) const
Дистанционный курс высшей математики НИЯУ МИФИ
Уравнения математической физики. Задача Штурма-Лиувилля.
Лекция 4 завершена.
Спасибо за внимание!
Тема следующей лекции: Метод Фурье.
Лекция состоится в понедельник 28 ноября В 12:00 по Московскому времени.