Задача Штурма-Лиувилля
div( p(x) u) q( |
||
|
u |
|
|
||
(x)u (x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
x)u (x)u, x
0, x
(Задача: найти все значения), параметра λ
собственное значение при которых система имеет нетривиальное (не равное тождественно нулю) решение (собственная функция).
|
|
|
|
Задача Штурма-Лиувилля |
|
|||||||
Пример (n=1). |
(a;b), |
{a;b}, [a;b] |
|
|||||||||
a |
|
|
|
b |
|
|
div( p(x) u) ( p(x)u ') ' |
|
||||
|
|
|
x |
|
u |
|
|
u |
|
|||
a |
|
|
|
b |
|
(a) u '(a), (b) u '(b) |
||||||
|
|
|
|
|
||||||||
a { 1}, b {1} |
|
|
(x)u (x) |
u |
u(a) u '(a) |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
(a) |
1 |
, (a) 1, |
|
|
|
|
x a |
|
|
|||
|
|
|
|
u |
|
|
||||||
(b) |
2 |
, (b) 2 |
|
(x)u (x) |
2u(b) 2u '(b) |
|||||||
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x b |
|
|
|
div( p(x) u) q(x)u (x)u, x |
( p(x)u ')' q(x)u (x)u, a x b |
|||||||||||
|
|
u |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0, x |
|
|
1u(a) 1u '(a) 0 |
|
||||||
(x)u (x) |
|
|
|
|
|
u(b) |
u '(b) 0 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|
|
|
||
Задача Штурма-Лиувилля
Основные ограничения |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p(x) C1( |
|
|
|
), p(x) 0 |
|
|
|
||
|
|
|
|
||||||
q(x) C( |
|
|
), q(x) 0 |
|
|
|
|||
|
|
|
|
||||||
|
|
|
V CL2, ( |
|
) |
||||
(x) C( |
|
|
|
), (x) 0 |
|
||||
|
|||||||||
(x) 0, (x) 0 |
|
|
|
||||||
( (x) (x) 0) |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(u1,u2 ) (x)u1(x)u2 (x)dx
Задача Штурма-Лиувилля
Lu(x) div( p(x) u) q(x)u
(x)
|
2 |
|
|
|
|
|
u |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
D(L) u(x) C |
( ) : |
|
(x)u (x) |
|
|
|
0 |
|
|||
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ЗШЛ Lu u, u 0
Задача Штурма-Лиувилля
|
|
|
Свойства оператора |
1. |
Оператор L самосопряжен: |
||
|
u,v D(L) (Lu,v) (u, Lv) |
||
2. |
Интеграл энергии |
(u D(L), 1 0, 2 0) |
|
|
(Lu,u) p(x) | u(x) |2 dx q(x) | u(x) |2 dx |
||
|
|
|
|
|
|
(x) p(x) | u(x) |2 dS |
|
|
|
|
(x) |
|
|
0 |
|
3. |
Оператор L неположителен: |
||
u D(L) (Lu,u) 0
Задача Штурма-Лиувилля
Свойства собственных функций и собственных значений
1.Все собственные значения неположительны.
2.Собственные функции, отвечающие различным собственным значениям ортогональны.
3.Каждое собственное значение имеет конечную кратность.
4.Ноль является собственным значением тогда и только тогда,
когда |
q(x) 0, (x) 0 |
|
5.Собственными функциями, отвечающими нулевому собственному значению, являются константы.
6.Множество всех собственных значений счетно.
7.Из собственных функций можно составить ортогональный базис.
8.Любая функция из D(L) раскладывается в равномерно сходящийся ряд Фурье по собственным функциям ЗШЛ (теорема Стеклова).
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Задача Штурма-Лиувилля |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u(x) C( |
|
) |
u(x) ck uk (x) |
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k 1 |
|
|
|
|
|
|
{u (x)} |
|
|
|
|
|
ОНБ собственных функций ЗШЛ |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
k |
|
|
k 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
c (u,uk ) |
1 |
|
|
(x)u(x)u |
(x)dx |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
k |
|| u |
|
|
|
|
||2 |
|
|
|
|| u |
|
|
|
||2 |
k |
|
|
|
|
||||
|
|
|
k |
|
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
(x) |2 dx |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|| u |
||2 (x) | u |
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u(x) C2 ( |
|
|
), |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ряд Фурье функции u(x) |
||||||||||||||
|
|
(x)u (x) |
|
|
u |
|
|
0 |
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
сходится равномерно на |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Задача Штурма-Лиувилля
|
|
|
|
|
|
||
xn |
|
|
Формула Остроградского |
|
|
||
|
|
a (a, ) (a, ) |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
| | |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a dS (diva)dx |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
x1 |
div( a) ( ,a) div a |
( , ) ( )
Задача Штурма-Лиувилля
Формулы Грина для оператора L
Первая формула Грина: u C2 ( ), v C1( )
|
(Lu,v) p(x)v(x) |
u(x) |
dS p(x)( u(x), v(x))dx q(x)u(x)v(x)dx |
||
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вторая формула Грина: u,v C2 ( )
|
|
u(x) |
(Lu,v) (u, Lv) p(x) v(x) |
|
|
|
|
|
u(x) |
v(x) |
|
|
dS |
|
|
|
|
Третья формула Грина: u C2 ( )
(Lu,u) p(x)u(x) |
u(x) |
2 |
2 |
|
|
dS p(x) | u(x) | |
dx q(x) | u(x) | |
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Задача Штурма-Лиувилля
div v(x) p(x) u(x) ( v(x), p(x) u(x)) v(x)div p(x) u(x) div v(x) p(x) u(x) p(x)( v(x), u(x)) v(x)div p(x) u(x)
div v(x) p(x) u(x) dx p(x)( v(x), u(x))dx v(x)div p(x) u(x) dx
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
v(x) p(x) u(x) |
|
|
|
|
|
p(x) u(x) dx |
||||||
|
|
|
dS p(x)( v(x), u( x))dx v(x)div |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
v(x) p(x) u(x) |
dS p(x)( v(x), u(x))dx v(x)div p(x) u(x) dx |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
v(x) p(x) |
u(x) dS |
p(x)( v(x), u(x))dx v(x)div |
|
p(x) u(x) |
dx |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
v(x)div p(x) u(x) dx v(x) p(x) |
u(x) |
dS p(x)( v(x), u(x))dx |
|
||||||||||
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|