Задача Штурма-Лиувилля
Самосопряженность
|
|
b |
( p(x)u |
'(x))' q(x)u(x) v(x)dx |
|||
|
|
(Lu,v) (x) |
|||||
|
|
|
|
(x) |
|
||
|
|
a |
|
|
|||
b |
|
|
|
b |
b |
||
|
|
|
|
||||
|
( p(x)u '(x))' q(x)u(x)v(x) dx |
||||||
|
|
( p(x)u '(x))' v(x)dx |
q(x)u(x)v(x)dx |
||||
a |
|
|
|
a |
a |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
b |
|
|
|
( p(x)u '(x))'v(x)dx ( p(x)u '(x))v(x) |
|
ba p(x)u '(x)v '(x)dx |
|||
|
|
|
|||||
|
|
|
|||||
|
|
a |
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
p(b)u '(b)v(b) p(a)u '(a))v(a) p(x)u '(x)v '(x)dx |
|||||
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
b |
b |
||
(Lu,v) p(b)u '(b)v(b) p(a)u '(a))v(a) p(x)u '(x)v '(x)dx q(x)u(x)v(x)dx
a |
a |
Задача Штурма-Лиувилля
b b
(Lu,v) p(b)u '(b)v(b) p(a)u '(a))v(a) p(x)u '(x)v '(x)dx q(x)u(x)v(x)dx
a |
a |
b |
b |
(Lv,u) p(b)v '(b)u(b) p(a)v '(a))u(a) p(x)u '(x)v '(x)dx q(x)u(x)v(x)dx
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
(Lu,v) (u, Lv) (Lu,v) (Lv,u) |
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
p(b)u '(b)v(b) p(a)u '(a))v(a) |
|
|
|
|
p(b)v '(b)u(b) |
p(a)v |
'(a))u(a) |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
p(b) u '(b)v(b) v '(b)u(b) |
p(a) u '(a))v(a) v '(a))u(a) |
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
1u(a) 1u '(a) 0 |
|
|
u(a) u '(a) |
|
0 u '(a)v(a) v |
'(a)u(a) 0 |
|
|||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
v(a) v '(a) |
|
|
|||||||||||
|
v(a) v '(a) 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2u(b) 2u '(b) 0 |
|
|
|
u(b) u '(b) |
|
0 u '(b)v(b) v '(b)u(b) 0 |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
v(b) |
v '(b) 0 |
|
|
v(b) v '(b) |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(Lu,v) (u, Lv)
Задача Штурма-Лиувилля
Интеграл энергии
b b
(Lu,v) p(b)u '(b)v(b) p(a)u '(a))v(a) p(x)u '(x)v '(x)dx q(x)u(x)v(x)dx
a |
a |
|
|
b |
b |
(Lu,u) p(b)u '(b)u(b) p(a)u '(a))u(a) p(x) | u '(x) |2 dx q(x) | u(x) |2 dx
|
|
|
|
|
|
a |
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0, |
2 |
0 |
u '(a) 1 u(a), u '(b) 2 u(b) |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
1 |
|
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
||
u(a) u '(a) 0 |
|
0, |
2 |
0 |
u(a) 0, u '(b) |
2 u(b) |
|
1 |
1 |
|
1 |
|
|
2 |
|
2u(b) 2u '(b) 0 |
|
|
|
|
|
||
|
0, |
2 |
0 |
u '(a) 1 u(a), u(b) 0 |
|||
|
|
|
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 0, 2 |
0 |
u(a) 0, u(b) 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Задача Штурма-Лиувилля
Неположительность
|
1 0, 2 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
b |
1 p(a) | u(a) |2 |
2 |
|
|
|
|
(Lu,u) p(x) | u '(x) |2 dx q(x) | u(x) |2 dx |
p(b) | u(b) |2 0 |
|
|||||
|
|
|||||||
|
|
a |
a |
1 |
2 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 0, 2 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
b |
2 |
|
|
|
|
|
(Lu,u) p(x) | u '(x) |2 dx q(x) | u(x) |2 dx |
p(b) | u(b) |2 0 |
|
|||||
|
|
|||||||
|
|
a |
a |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 0, 2 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
b |
1 p(a) | u(a) |2 0 |
|
|||
|
(Lu,u) p(x) | u '(x) |2 dx q(x) | u(x) |2 dx |
|
||||||
|
|
a |
a |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 0, 2 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
b |
|
|
|
|
|
|
(Lu,u) p(x) | u '(x) |2 dx q(x) | u(x) |2 dx 0 |
|
|
|
||||
a |
a |
Задача Штурма-Лиувилля
Неположительность собственных значений
Lu u,u 0
|
2 |
|
|
(Lu,u) ( u,u) (u,u) || u || 0 |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
||
|| u ||2 |
0 |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
Ортогональность
Lu 1u, Lv 2v, 1 2
1(u,v) ( 1u,v) (Lu,v) (u, Lv) (u, 2v) 2 (u,v) ( 1 2 )(u,v) 0 (u,v) 0
Задача Штурма-Лиувилля
Простота собственных значений
( p(x)u ')' q(x)u (x)u
p(x)u '' p '(x)u ' (q(x) (x))u 0
2u1 |
(b) 2u1 '(b) 0 |
|
|
|
u1 |
(b) u1 |
'(b) |
|
0 |
|||||||||
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
u |
(b) u '(b) |
0 |
|
|
u |
(b) u |
|
'(b) |
|
|||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
||||||||||||
|
2 |
2 |
2 |
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
u1(b) u1 |
'(b) |
|
W (u1,u2 ) |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
u2 (b) u2 '(b) |
|
|
x b |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
W (u1,u2 ) |
|
x b 0 |
u1,u2 |
|
линейно зависимы |
||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Задача Штурма-Лиувилля
Характеристика нулевого собственного значения
q(x) 0, 1 0, 2 0, u(x) const
Lu ( p(x)u ')' q(x)u |
( p(x) 0)' 0 u |
0 0 u |
(x) |
(x) |
|
1u(a) 1u '(a) 0 const 1 0 0
2u(b) 2u '(b) 0 const 2 0 0
Задача Штурма-Лиувилля
Lu 0 (Lu,u) 0
b
(Lu,u) p(x) | u '(x) |2
a
b
(Lu,u) p(x) | u '(x) |2
a
b
(Lu,u) p(x) | u '(x) |2
a
b
(Lu,u) p(x) | u '(x) |2
a
b |
1 |
|
dx q(x) | u(x) |2 dx |
||
a |
1 |
|
b |
2 |
|
dx q(x) | u(x) |2 dx |
||
2 |
||
a |
||
b |
1 |
|
dx q(x) | u(x) |2 dx |
||
a |
1 |
b
dx q(x) | u(x) |2 dx ( 1
a
p(a) | u(a) |2 |
|
|
2 |
p(b) | u(b) |2 |
||
|
||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
p(b) | u(b) |2 |
|
( 0, |
2 |
0) |
||
|
|
1 |
|
|
||
p(a) | u(a) |2 |
|
( 0, |
2 |
0) |
||
|
|
1 |
|
|
||
0, 2 0) |
|
|
|
|
|
|
b |
b |
p(x) | u '(x) |2 dx 0, |
q(x) | u(x) |2 dx 0 |
a |
a |
Задача Штурма-Лиувилля
b |
|
|
|
|
|
p(x) | u '(x) |2 dx 0 |
p(x) | u '(x) |2 0 u '(x) 0 |
u const |
|||
a |
|
|
|
|
|
b |
b |
b |
|
|
|
0 q(x) | u(x) |2 dx q(x) | const |2 dx | const |2 |
q(x)dx |
q(x) 0 |
|||
a |
a |
a |
|
|
|
0 1u(a) 1u '(a) 1 const 1 0 1 const |
1 |
0 |
|||
0 2u(b) 2u '(b) 2 const 2 0 2 const |
|
2 |
0 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
q(x) 0, 1 0, 2 0 |
|
|
|
|
Задача Штурма-Лиувилля
xn
x2
x1
ограниченная область в Rnграница области
замыкание областиединичная внешняя нормаль к
x (x1, x2 ,..., xn ), (x) x |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
u |
|
u |
|
|
|
|
u |
|
||||
u grad u |
, |
, |
. . . , |
|
|||||||||||
|
|
x |
|
||||||||||||
|
|
|
x |
x |
2 |
|
|
|
|
n |
|||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
(u u(x1, x2 ,..., xn )) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
div a a1 |
|
a2 |
+ . . . + |
an |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
||||||||||||
x |
|
x |
|
|
|
|
|
x |
n |
|
|
|
|||
1 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
(a {a1,a2 ,...,an})