Дистанционный курс высшей математики НИЯУ МИФИ
Уравнения математической физики 5 семестр
Лекция 4
Задача Штурма-Лиувилля.
14 ноября 2014 года Лектор: профессор НИЯУ МИФИ, д.ф.-м.н.
Орловский Дмитрий Германович
Задача Штурма-Лиувилля
( p(x)u ')' q(x)u (x)u, a x b |
||
|
|
|
1u(a) 1u '(a) 0 |
||
|
u(b) |
u '(b) 0 |
|
||
2 |
2 |
|
(Задача: найти все значения), параметра λ
собственное значение при которых система имеет нетривиальное (не равное тождественно нулю) решение (собственная функция).
Задача Штурма-Лиувилля
Шарль Франсуа Штурм (29 сентября 1803, Женева, Швейцария, — 15 декабря 1855, Париж, Франция) — французский математик.
Удостоен премии по математике за работы по сжимаемости жидкостей. В 1836 году был избран членом Парижской академии наук. С 1840 года — профессор Политехнической школы.
Задача Штурма-Лиувилля
Жозеф Лиувилль (24 марта 1809, Сент-Омер — 8 сентября 1882, Париж) — французский математик. Получил членство в Коллеж де Франс по математике в 1850 г. и по механике в 1857 г.
Кроме академических достижений он был очень талантливым организатором. Лиувилль основал «Журнал чистой и прикладной математики» (Journal de mathématiques pures et appliquées), который поддерживает свою репутацию до настоящего времени, для продвижения математических работ.
Задача Штурма-Лиувилля
Основные ограничения |
|
|
|
p(x) C1[a;b], p(x) 0 |
|
q(x) C[a;b], q(x) 0 |
|
(x) C[a;b], (x) 0 |
V CL2, [a;b] |
1 0, 1 0, 2 0, 2 0 |
|
( 1 1 0, 2 2 0) |
|
|
|
b
(u1,u2 ) (x)u1(x)u2 (x)dx
a
Задача Штурма-Лиувилля
Lu(x) ( p(x)u ')' q(x)u
(x)
D(L) {u(x) C2[a;b]:
1u(a) 1u '(a) 0,2u(b) 2u '(b) 0}
ЗШЛ Lu u, u 0
Задача Штурма-Лиувилля
|
Свойства оператора |
|||
1. |
Оператор L самосопряжен: |
|
|
|
|
u,v D(L) |
(Lu,v) (u, Lv) |
||
2. |
Интеграл энергии (u D(L), |
1 0, 2 0) |
||
|
b |
|
|
b |
|
(Lu,u) p(x) | u '(x) |2 dx q(x) | u(x) |2 dx |
|||
|
a |
|
|
a |
|
1 p(a) | u(a) |2 |
2 |
p(b) | u(b) |2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
1 |
|
|
|
3. |
Оператор L неположителен: |
|
|
|
u D(L) (Lu,u) 0
Задача Штурма-Лиувилля
b |
|
b |
|
|
|
|
|
(Lu,u) p(x) | u '(x) |2 dx q(x) | u(x) |2 dx |
|
|
|
||||
a |
|
a |
|
|
|
|
|
2 p(b) | u(b) |2 |
( 0, |
2 |
0) |
|
|
|
|
2 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
b |
|
|
|
|
|
(Lu,u) p(x) | u '(x) |2 dx q(x) | u(x) |2 dx |
|
|
|
||||
a |
|
a |
|
|
|
|
|
1 p(a) | u(a) |2 |
( 0, |
2 |
0) |
|
|
|
|
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0) |
||
(Lu,u) |
p(x) | u '(x) |2 |
dx q(x) | u(x) |2 dx ( 0, |
2 |
||||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
a |
a |
Задача Штурма-Лиувилля
Свойства собственных функций и собственных значений
1.Все собственные значения неположительны.
2.Собственные функции, отвечающие различным собственным значениям ортогональны.
3.Каждое собственное значение – простое (кратности 1).
4.Ноль является собственным значением тогда и только тогда,
когда |
q(x) 0, 1 |
0, 2 |
0 |
|
5.Собственными функциями, отвечающими нулевому собственному значению, являются константы.
6.Множество всех собственных значений счетно.
7.Собственные функции, взятые по одной для каждого собственного значения, образуют ортогональный базис.
8.Любая функция из D(L) раскладывается в равномерно сходящийся ряд Фурье по собственным функциям ЗШЛ (теорема Стеклова).
|
|
|
|
Задача Штурма-Лиувилля |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u(x) C[a;b] |
u(x) ck uk (x) |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
{u (x)} |
|
ОНБ собственных функций ЗШЛ |
|||||||||
|
|||||||||||
k |
|
|
k 1 |
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
c (u,uk ) |
|
1 |
|
|
|
|
|||||
|
|
(x)u(x)u (x)dx |
|||||||||
|
|
||||||||||
k |
|| u |
||2 |
|
|| u |
||2 |
k |
|||||
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
k |
|
|
k |
|
a |
|
|
|
|
k |
|
|
b |
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(x) |2 dx |
||||||
|| u |
||2 |
(x) | u |
|||||||||
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
u(x) C2[a;b], |
|
|
|
ряд Фурье сходится равномерно |
|||||||
1u(a) 1u '(a) 0, |
|
||||||||||
2u(b) 2u '(b) 0 |
|
|
|
на всем отрезке [a;b] |
|||||||
|
|
|
|
|
|
||||||