- •Дистанционный курс высшей математики НИЯУ МИФИ
- •Задача Коши для теплопроводности
- •Задача Коши для теплопроводности
- •Задача Коши для теплопроводности
- •Задача Коши для теплопроводности
- •Задача Коши для теплопроводности
- •Задача Коши для теплопроводности
- •Задача Коши для теплопроводности
- •Задача Коши для теплопроводности
- •Задача Коши для теплопроводности
- •Задача Коши для теплопроводности
- •Задача Коши для теплопроводности
- •Задача Коши для теплопроводности
- •Задача Коши для теплопроводности
- •Задача Коши для теплопроводности
- •Задача Коши для теплопроводности
- •Задача Коши для теплопроводности
- •Задача Коши для теплопроводности
- •Задача Коши для теплопроводности
- •Задача Коши для теплопроводности
- •Задача Коши для теплопроводности
- •Задача Коши для теплопроводности
- •Задача Коши для теплопроводности
- •Задача Коши для теплопроводности
- •Задача Коши для теплопроводности
- •Задача Коши для теплопроводности
- •Задача Коши для теплопроводности
- •Задача Коши для теплопроводности
- •Задача Коши для теплопроводности
- •Задача Коши для теплопроводности
- •Задача Коши для теплопроводности
- •Задача Коши для теплопроводности
- •Задача Коши для теплопроводности
- •Задача Коши для теплопроводности
- •Задача Коши для теплопроводности
- •Задача Коши для теплопроводности
- •Задача Коши для теплопроводности
- •Задача Коши для теплопроводности
- •Задача Коши для теплопроводности
- •Задача Коши для теплопроводности
- •Дистанционный курс высшей математики НИЯУ МИФИ
Задача Коши для теплопроводности
|
| x x | |
|
I |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
0 |
2 |
|
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
||||
|
0 t t |
I2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| x x | ,0 t t | u(x, t) (x |
) | I |
|
I |
|
|
|
|
|||||||||
1 |
2 |
|
|
|||||||||||||
0 |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
lim u(x,t) (x0 )
x x0 t 0 0
Задача Коши для теплопроводности
Эффект мгновенного распространения тепла
|
u (x) |
x |
(x) 0, x ( ; ) |
|
|
(x) 0, x ( ; ) |
|
|
|
x0 |
|
|
|
1 |
|
|
|
( x ξ )2 |
1 |
|
|
|
( x ξ)2 |
u(x,t) |
|
(ξ) e |
4a2t dξ |
|
(ξ) e |
4a2t |
||||
|
|
|
|
|
|
|||||
|
2a |
t |
|
|
2a |
t |
|
|
||
dξ 0
Задача Коши для теплопроводности
Симео́н Дени́Пуассо́н (21 июня 1781, Питивье, Франция — 25 апреля 1840, Со) — знаменитый французский математик, механик и физик.
Задача Коши для теплопроводности
Отец С. Д. Пуассона занимал незначительную административную должность в городе Питивье (в департаменте Луары). Здесь в 1781 г. и родился Симеон Дени Пуассон. После революции отец Пуассона успел получить более высокое положение и занял одну из видных должностей в управлении городом.
Случилось так, что тетради журнала Политехнической школы попали в руки молодого Пуассона, который стал просматривать их, и решать находившиеся там задачи, и находить верные решения. После этого отец поместил его в центральную школу, в Фотебло.
В 1798 г. 17-летний Пуассон поступил в Политехническую школу.
Задача Коши для теплопроводности
Однажды Пьер Ларлас, спрашивая учеников по небесной механике, задал одному из них объяснить решение какого-то вопроса и к своему удивлению получил ответ, представлявший совершенно новое и изящное решение. Автором его оказался Пуассон. С тех пор Лаплас, Лагранж и другие профессора обратили внимание на молодого человека. Уже в 1800 году, когда Пуассону ещё не было и 20 лет, две его статьи были напечатаны и доставили автору почётную известность в учёном мире.
В1802 г. Пуассон был назначен адъюнкт-профессором, а в 1806
г.профессором на место выбывшего Фурье.
В1820 г. был приглашен в члены совета университета, причём ему поручено было высшее наблюдение над преподаванием математики во всех коллежах Франции. При Наполеоне он возведён в бароны, а при Луи-Филиппе был сделан пэром Франции.
Задача Коши для теплопроводности
В Политехнической школе Пуассона назначают экзаменатором абитуриентов. Должность экзаменатора была в определенном смысле выше обычной профессорской: принимая итоговые экзамены, он подвергал тем самым проверке и то, как усвоены знания воспитанниками Политехнической школы, и то, как и чему их научили профессора.
Выпускные экзамены в Политехнической школе ежегодно отнимали у Пуассона четыре недели, в течение которых он должен был экзаменовать по девять часов в день.
Педагогическую работу Пуассон любил, об этом говорит и его известное высказывание: «Жизнь украшается двумя вещами — занятием математикой и ее преподаванием». Лекции Пуассона отличались ясностью и глубиной. В последние годы жизни он поставил перед собой задачу написать фундаментальный курс математической физики. До конца выполнить эту задачу Пуассон, к сожалению, не успел.
Задача Коши для теплопроводности
Политехническая Школа — знаменитая высшая школа для подготовки инженеров, основанная французскими учёными Монжем и Карно в 1794. Учеников и выпускников школы называют политехниками. Кроме того, Политехническую Школу называют «Икс», а её учеников «Иксами». Точное происхождение этого «прозвища» неизвестно — или сильный математический уклон преподавания, или герб школы с двумя скрещёнными пушками.
Задача Коши для теплопроводности
Пример. |
u |
a |
2 2u |
, |
x R, t 0, |
|
t |
x2 |
|
||||
|
|
|
U, x , |
|
||
|
u(x,0) |
|
|
|
|
|
|
|
|
x [ , ] |
|
||
|
|
|
0, |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
x |
|
erf( x) |
e z2 dz |
||
|
|||
|
0 |
||
|
|
|
|
Задача Коши для теплопроводности
|
|
1 |
|
|
|
|
|
( x ξ )2 |
|
U |
|
|
|
( x ξ)2 |
|
|
|
u(x,t) |
|
|
(ξ) e |
4a2t |
dξ |
|
|
e |
4a2t dξ |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
2a t |
|
|
|
2a |
t |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
ξ x |
z, |
|
dξ |
dz, |
x |
z |
x |
|
|
||||
|
|
|
2a t |
|
2a t |
2a t |
2a t |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
x |
|
|
|
|
U |
|
2a t |
|
|
U |
2a t |
|
|
2a t |
|
|||||
|
|
z2 |
|
|
z2 |
|
z2 |
|
||||||||
u(x,t) |
|
|
e |
|
dz |
|
|
e |
|
dz |
e |
|
dz |
|||
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
2a t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Задача Коши для теплопроводности
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
2a t |
|
|
2 |
|
2a t |
|
|
||||
U |
|
z2 |
|
|
z2 |
|
|
||||||||
u(x, t) |
2 |
|
|
|
e |
|
dz |
|
|
e |
|
dz |
|
||
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
0 |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
U |
|
x |
|
|
x |
|||||
|
2 |
erf |
|
|
erf |
|
|
|||
|
|
|
2a t |
|
|
2a t |
||||
|
U |
|
x |
|
|
|
x |
|||
|
|
2 |
erf |
|
|
erf |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
2a t |
|
|
|
2a t |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
