Задача Коши для теплопроводности

t

t2

{(x,t) : A x A,t1 t t2}

u(x,t)

(ξ)E(x,t,ξ)dξ

t1

A

A x

u(x,t)

a

2 2u(x,t)

t

x2

E

2 E2

(ξ)

(x,t,ξ)dξ a2 (ξ)

( x, t,ξ)dξ

t

x

E ( x,t,ξ)dξ

0

E ( x, t,ξ)dξ,

E ( x, t,ξ)dξ

(ξ)

(ξ)

(ξ)

t

t

t

0

E (x, t,ξ)dξ

E ( x, t,ξ)dξ

(ξ)

(ξ)

t

t

0

A

M 0 x R | (x) | M

t

t2

| x ξ | ξ A

(x,t)

| x ξ | ξ A

t1

ξ

E

1

( x ξ2 )2

1

(x ξ)2

(ξ)

(x, t,ξ)dξ= (ξ)

e

4a t

2

5/2

dξ

t

2a

2t

3/2

t

A

A

4a

(ξ)

E

(x, t,ξ)

M

1

e

( x ξ2 )2

1

(x ξ)2

4a t

2

5/2

3/2

t

2a

2t

4a

t

(ξ A)2

1

1

(ξ+A)

2

2

M

e

4a

t2

F (ξ)

2a

3/2

2

t

5/2

2t1

4a

1

F(ξ)dξ

сходится

ξ

x

u

Лемма.

E( x, t,ξ)dξ 1

2a

t

1

2

2

e u2 du

e u2 du

1

2

0

(ξ) (x0 )

E(x,t, ξ)dξ

|ξ x| 2

(ξ) (x0 )

E(x,t,ξ)dξ I1 I2

|ξ x| 2

I1

(ξ) (x0 )

E(x,t,ξ)dξ

|ξ x| 2

I2

(ξ) ( x0 )

E(x, t,ξ)dξ

2M

2

2M

2

2M

I2

e u

du

e u du

4M

2

|u| D

|u|

4a

t