Задача Коши для теплопроводности
|
|
v(x,t) |
1 |
|
|
(ξ)dξ |
e a2 2t cos (x ξ)d |
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
( x ξ)2 |
|
|
|
1 |
|
|
|
( x ξ)2 |
|
|||||
|
(ξ)dξ |
e |
|
2 |
|
|
|
|
(ξ) e |
2 |
|
dξ |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
4a |
t |
|
|
|
|
|
4a |
t |
|||||||
|
|
2a t |
|
2a |
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
( x ξ )2 |
v(x, t) |
|
(ξ) e |
4a2t dξ |
||
|
|
|
|||
|
2a |
t |
|
|
|
(формула Пуассона для однородного уравнения)
Задача Коши для теплопроводности
|
|
2 |
|
|
|
|
w |
a2 w |
f (x,t), |
x R, |
t 0, |
||
|
||||||
|
t |
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
x R. |
|
|
|
w(x,0) 0, |
|
|
||||
|
1 |
|
|
|
|
w(x,t)e |
i x |
dx |
|
|
|
|||
w( ,t) |
|
|
||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
w |
|
|
|
||||||
w |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
t |
|
|
( ,t) |
|
|
|
|
|
|
t |
(x,t)e i xdx |
||||||
|
|
|
|
2 |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
2 |
|
|
|
1 |
|
|
|
2w |
i x |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
w( ,t) |
|
|
|
|
x |
2 (x,t)e |
|
dx |
|||||||
|
2 |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f ( ,t) |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
f (x,t)e i xdx |
|
||||||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Задача Коши для теплопроводности
w a2 2 w f , w( ,0) 0.t
y '(t) Ay(t) f (t), y(0) yo
t
y(t) y0eAt f ( )eA(t )d
0
t
w( ,t) f ( , )e a2 2 (t )d
0
Задача Коши для теплопроводности
1
2
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
i x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
w(x,t) |
|
|
|
d |
||||||||
|
|
|
2 |
w( ,t)e |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
t |
f ( , )e a2 2 (t )d ei xd |
||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
t |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
2 |
|
||
|
|
|
|
|
f (ξ, )e i ξdξ |
e a |
|
(t )d ei xd |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
1 |
t |
|
|
|
d f (ξ, )dξ |
|||
2 |
||||
|
0 |
|
||
e a2 2 (t )ei ( x ξ)d
Задача Коши для теплопроводности
I e a2 2 (t )ei ( x ξ )d |
|
|
|
|
|
e a2 2 (t ) cos (x ξ) i sin ( x ξ) d |
|
|
|
|
|
e a2 2 (t ) cos (x |
ξ)d i e a2 2 (t ) sin (x ξ)d |
|
|
2 e a2 2 (t ) cos (x ξ)d
0
Задача Коши для теплопроводности
|
|
cos xdx 1 |
e |
|
2 |
|
|
|
e x2 |
|
|
( 0) |
|
||
|
4 |
|
|||||
0 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
I 2 e a2 2 (t ) cos (x ξ)d |
|
|||||
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
x , |
a2 (t ), |
x ξ |
|
|||
|
|
e |
( x ξ)2 |
1 |
|
e |
( x ξ)2 |
|
I |
4a2 (t ) |
|
4a2 (t ) |
|||||
|
a2 (t ) |
|
|
|
a |
(t ) |
|
|
Задача Коши для теплопроводности
|
1 |
t |
|
|
|
|
|
|
|
||
w(x,t) |
d f (ξ, )dξ e a2 2 (t )ei ( x ξ )d |
||||||||||
2 |
|||||||||||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
e |
( x ξ )2 |
||
I e a2 2 (t )ei ( x ξ )d |
|
|
4a2 (t ) |
|
|||||||
a |
|
(t |
) |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
t |
|
|
|
( x ξ)2 |
|
|
|
d |
|
f (ξ, ) e |
|
dξ |
||
w(x,t) |
|
|
4a2 (t ) |
|||||
2 |
|
|||||||
|
a 0 |
t |
|
|
|
|||
(формула Пуассона для неоднородного уравнения)
Задача Коши для теплопроводности
u |
a2 2u |
f (x,t), |
x R, |
t 0, |
|
t |
x2 |
|
|
|
|
u(x,0) (x), |
x R. |
|
|
||
|
|
|
|
1 |
|
|
( x ξ )2 |
|||
u(x,t) |
|
|
|
(ξ) e |
4a2t dξ |
|||||
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
2a |
t |
|
|
|
|||
|
1 |
|
t |
|
|
|
|
|
( x ξ )2 |
|
|
|
d |
|
|
f (ξ, ) e |
|
dξ |
|||
|
|
|
|
4a2 (t ) |
||||||
2a |
|
|
||||||||
|
0 |
t |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(полная формула Пуассона)
Задача Коши для теплопроводности
прямой. Тогда |
φ(x) |
|
|
|
|
( x ξ)2 |
Пусть функция |
|
непрерывна и ограничена на всей числовой |
||||
u(x,t) |
1 |
|
(ξ) e |
4a2t dξ |
||
|
|
|||||
|
|
|
2a |
t |
|
|
дважды непрерывно дифференцируема при любом t>0, является решением однородного уравнения теплопроводности
u |
a2 |
2u |
, x R, |
t 0 |
|
t |
x2 |
||||
|
|
|
и удовлетворяет начальному условию в предельном смысле
lim u(x,t) (x0 )
x x0 t 0 0
Задача Коши для теплопроводности
Фундаментальное решение уравнения теплопроводности
|
|
|
|
|
|
|
|
|
E(x,t,ξ) |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
e |
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2a |
t |
|
|
|
||||||||||||||||||||||
E |
|
|
|
|
(x |
ξ) |
|
e |
( x ξ )2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
(x,t,ξ) |
|
|
|
4a2t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
x |
|
|
4a3 |
|
t3/2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
E |
(x, t,ξ) |
|
1 |
|
e |
|
( x ξ2)2 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
(x ξ)2 |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4a |
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
5/2 |
|||||||||||
t |
|
2a |
|
|
|
|
|
|
|
2t |
3/2 |
|
|
|
t |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4a |
|
|
|
|
|||||||||||
2 E |
(x,t,ξ) |
|
|
1 |
|
|
|
|
e |
( x ξ2 )2 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
(x ξ)2 |
||||||||||||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4a |
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
5/2 |
|||||||||||
x |
|
2a |
3 |
|
|
|
|
|
2t |
3/2 |
|
|
|
t |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4a |
|
|
|||||||||||
(x ξ )2
4a2t
E a2 2 Et x2