Дистанционный курс высшей математики НИЯУ МИФИ
Уравнения математической физики 5 семестр
Лекция 3
Задача Коши для одномерной теплопроводности.
06 ноября 2014 года Лектор: профессор НИЯУ МИФИ, д.ф.-м.н.
Орловский Дмитрий Германович
Задача Коши для теплопроводности
u |
a2 2u |
f (x,t), |
x R, |
t 0, |
|
t |
x2 |
|
|
|
|
u(x,0) (x), |
x R. |
|
|
||
Классическое решение:
u C2 (x R, t 0) C(x R, t 0)
Необходимые условия разрешимости:
f C(x R, t 0), C(R)
Задача Коши для теплопроводности
v |
2 |
v , x |
a2 |
||
|
|
|
t |
x2 |
|
v(x,0) (x),
R, t 0,
x R.
u v w
w a2 2wt x2
w(x,0) 0,
f (x, t), |
x R, |
t 0, |
x R.
Задача Коши для теплопроводности
Преобразование Фурье
f ( ) |
1 |
|
|
f (x)e i xdx |
|||
2 |
|||
|
|
||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
f (x) |
|
f ( )ei xd |
|||
|
2 |
||||
|
|
|
|
||
i f ( ) |
|
|
1 |
|
|
|
f '(x)e i xdx |
||||
|
2 |
||||
|
|
|
|
||
2 f ( ) |
1 |
|
|
||
|
f ''(x)e i xdx |
||||
|
|
||||
|
|
|
2 |
||
Задача Коши для теплопроводности
Интегралы, зависящие от параметра
|
cos xdx 1 |
|
e |
2 |
e x2 |
|
|||
4 |
||||
0 |
2 |
|
|
|
( 0)
(Демидович Б.П. № 3809)
Задача Коши для теплопроводности
v |
2 |
v , x |
a2 |
||
|
|
|
t |
x2 |
|
v(x,0) (x),
R, t 0,
x R.
v( , t)
vt ( , t)
2v( ,t)
1
2
1
2
1
2
v(x,t)e i xdx
v
(x,t)e i xdx
t
2v
x2 (x,t)e i xdx
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i x |
|
|
|
|
|
|
( ) |
|
(x)e |
|
dx |
|
( ,0) |
( ) |
||
|
|
|
v |
|
|||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
Задача Коши для теплопроводности
v a2 2v, v( ,0) ( ).
t
y '(t) Ay(t), y(0) y0 y(t) y0eAt
v(t) ( )e a2 2t
|
1 |
|
|
i x |
|
1 |
|
|
|
a2 2t |
i x |
|
|
|
|
|
|
||||||
v(x,t) |
|
|
( ,t)e |
|
d |
|
|
|
( )e |
|
e d |
2 |
v |
|
2 |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Задача Коши для теплопроводности
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
a2 2t |
|
|
|
|
||
v(x,t) |
|
|
|
|
( )e |
i x |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
e d |
|||||||||
|
2 |
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
2 |
2 |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(ξ)e i ξdξ |
|
e a |
tei xd |
||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
1 |
|
(ξ)dξ |
e a2 2tei ( x ξ)d |
|
|
|
|
|
|
||
2 |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
(ξ)dξ |
e a2 2t |
|
cos (x ξ) i sin ( x ξ) |
|
d |
|
|
||
2 |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Задача Коши для теплопроводности
1 2
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(ξ)dξ |
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
||||
|
e a |
|
t cos (x ξ) i sin ( x ξ) d |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
1 |
|
|
|
|
e a |
|
t |
cos (x ξ)d |
|
|
|
|
|
(ξ)dξ |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
e a2 2t sin (x ξ)d |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
(ξ)dξ |
e a2 2t cos (x ξ)d |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|||
|
|
|
|
0 |
|
Задача Коши для теплопроводности
|
cos xdx 1 |
|
e |
2 |
e x2 |
|
|||
4 |
||||
0 |
2 |
|
|
|
( 0)
I e a2 2t cos (x ξ)d
0
x , a2t, x ξ
I 1 |
|
e |
( x ξ )2 |
|
1 |
|
e |
( x ξ )2 |
|
4a2t |
|
4a2t |
|||||||
a2t |
2a |
t |
|||||||
2 |
|
|
|
|
|