Задача Коши для волнового уравнения
С 1751 года Д’Аламбер работал вместе с Дидро над созданием знаменитой «Энциклопедии наук, искусств и ремёсел». Статьи 17- томной «Энциклопедии», относящиеся к математике и физике, написаны Д’Аламбером.
В1754 Д’Аламбер становится членом Французской Академии.
В1764 в статье «Размерность» (для Энциклопедии) впервые высказана мысль о возможности рассматривать время как четвёртое измерение.
Д’Аламбер умер после долгой болезни в 1783 году. Скептически относясь к религии на протяжении всей жизни он отказался от последнего причастия перед своей смертью. Поэтому парижский архиепископ запретил служить по нем заупокойную службу и церковь отказала «отъявленному атеисту» в месте на кладбище. Д’Аламбера похоронили в общей могиле, ничем не обозначенной.
Вчесть Д’Аламбера названы кратер на обратной стороне Луны и горный хребет на её видимой стороне.
Задача Коши для волнового уравнения
Д’Аламбер известен также тем, что он разработал систему игры в рулетку, которая получила название системы Д’Аламбера.
Эта система игры для рулетки предполагает, что после победы, игрок имеет меньше шансов выиграть еще раз. Таким образом, после выигрыша, нужно вычесть часть от вашей ставки (уменьшить ставку). Эта система также предполагает, что у вас будет меньше шансов проиграть после проигрыша, так что в этом случае, вы добавляете немного к вашей ставке (увеличиваете ставку). Система работает в основном на принципе, что потери в настоящее время в скором времени обернутся выигрышем. В практическом плане это означает, что вы должны адаптировать свои ставки по итогам предыдущего спина(ов). Если вы выигрываете спин Вы убираете ваши ставки из этого сектора или с номера(ов), а если вы теряете ставку, вы просто увеличиваете свою ставку.
Задача Коши для волнового уравнения
|
Пример 1. |
u tt uxx bx2 |
|
|
|
|
|
|
|||
|
a 1, f (x, t) bx2 , |
|
|||||||||
|
|
|
e x |
|
|
|
|||||
|
|
u(x, 0) |
|
|
(x) e x , (x) A |
|
|||||
|
|
u (x,0) |
A |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
(x at) (x at) |
|
1 |
x at |
1 |
t |
x a(t ) |
||||
|
u(x,t) |
|
|
|
|
(ξ)dξ |
|
d |
f (ξ, )dξ |
||
|
|
|
|
||||||||
|
|
2 |
|
|
2a x at |
2a |
0 |
x a(t ) |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u1( x,t) |
(x at) ( x at) |
|
(x t) ( x t) |
|
||
2 |
|
2 |
||||
|
|
|
|
|
||
1 |
e x t |
e x t e x |
et e t |
e x ch t |
|
|
2 |
2 |
|
||||
Задача Коши для волнового уравнения
|
|
|
u (x,t) |
1 |
x at (ξ)dξ |
1 x t |
Adξ |
A |
x t dξ |
A |
2t At |
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2a x at |
|
|
|
|
|
|
2 x t |
|
|
|
|
|
|
|
2 x t |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
1 t |
x a(t ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 t |
|
|
x (t ) |
|
|
|
|
|
b t |
ξ3 |
|
x (t ) |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
u ( x, t) |
2a |
|
|
|
(ξ, )dξ |
2 |
|
|
|
|
|
bξ2dξ |
|
|
2 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
d |
|
|
f |
|
|
d |
|
|
|
|
|
|
|
d |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
x a(t ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
x (t ) |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
x (t ) |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
b t |
d |
|
x (t ) 3 x (t ) 3 |
|
b t |
|
|
3x2 (t ) (t )3 |
|
d |
|
||||||||||||||||||||||||||||||
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
b |
|
|
|
|
2 |
(t ) |
2 |
|
|
|
4 |
|
|
t |
b |
|
|
2 |
t |
2 |
t |
4 |
|
bt |
2 |
6x2 t2 |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
3x |
(t ) |
|
|
|
|
3x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
3 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
4 |
|
|
|
|
0 |
3 |
|
|
2 |
|
|
|
|
4 |
|
12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ответ: |
2 |
|
|
|
u(x,t) e x ch t At |
bt |
6x2 t2 |
|
12 |
||
|
|
|
|
Задача Коши для волнового уравнения
|
Пример 2. |
u tt uxx Axt |
|
|
|
|
|
|
|||
|
a 1, |
f (x,t) Axt, |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
u(x,0) |
x |
|
|
|
(x) x, (x) sin x |
|
|||
|
|
u (x, 0) |
sin x |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
(x at) (x at) |
|
1 |
x at |
1 |
t |
x a(t ) |
||||
|
u(x,t) |
|
|
|
|
(ξ)dξ |
|
d |
f (ξ, )dξ |
||
|
|
|
|
||||||||
|
|
2 |
|
|
2a x at |
2a |
0 |
x a(t ) |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(x at) ( x at) |
|
||||
|
u1(x,t) |
|
|
2 |
||
|
(x t) (x t) |
|
1 |
|
||
|
|
x t x t x |
||||
2 |
2 |
|||||
Задача Коши для волнового уравнения
|
|
|
|
u (x,t) |
1 |
x at (ξ)dξ 1 x t sin ξdξ 1 cos ξ |
|
x t |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
2a |
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|
|
x t |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x at |
|
|
|
x t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
12 cos(x t) cos( x t) sin x sin t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
1 t |
x a(t ) |
|
|
|
1 t |
|
x (t ) |
|
A t |
ξ2 |
|
x (t ) |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
u (x,t) |
2a |
|
|
f (ξ, )dξ |
2 |
|
Aξ dξ |
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
d |
|
|
|
|
d |
|
|
d |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
x a(t ) |
|
|
|
0 |
|
x (t ) |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
x (t ) |
|
|
t |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
A t |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
t |
|
|
|
2 |
|
3 |
|
|
|
Axt3 |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
d |
x (t ) |
|
x (t ) |
|
Ax (t ) d Ax t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
4 |
|
|
2 |
|
|
3 |
6 |
|||||||||||||||||||||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Ответ: |
|
Axt3 |
|
|
u(x,t) x sin x sin t 6 |
||||
|
||||
Дистанционный курс высшей математики НИЯУ МИФИ
Уравнения математической физики. Задача Коши для
одномерного волнового уравнения. Лекция 2 завершена.
Спасибо за внимание!
Тема следующей лекции:
Задача Коши для одномерной теплопроводности.
Лекция состоится в пятницу 14 ноября В 12:00 по Московскому времени.