Задача Коши для волнового уравнения
w(x ,t ) |
1 |
t0 |
dtx0 a(t0 t ) |
f (x,t)dx |
||
|
|
|||||
0 |
0 |
|
|
|
|
|
2a 0 |
|
|
|
|||
|
|
x a(t t ) |
|
|||
|
|
|
|
0 |
0 |
|
x ξ, t , x0 x, t0 t
|
1 |
t |
x a(t ) |
|
w(x,t) |
d |
f (ξ, )dξ |
||
2a |
||||
0 |
x a(t ) |
|||
(формула Даламбера для неоднородного уравнения)
Задача Коши для волнового уравнения
2u |
a |
2 2u |
f |
(x,t), x R, |
t 0, |
||
t2 |
x2 |
||||||
|
|
|
|
||||
u(x,0) ( x), x R, |
|
||||||
u |
(x,0) (x), |
x R. |
|
||||
|
|
||||||
t |
|
|
|
|
|
||
(x at) (x at) |
|
1 x at |
|||||
u(x, t) |
|
|
|
|
|
x at (ξ)dξ |
|
|
2 |
|
2a |
||||
|
1 |
t |
x a(t ) |
|
|
|
|
|
d |
f (ξ, )dξ |
|||||
2a |
|||||||
|
0 |
x a(t ) |
|
|
|
||
(полная формула Даламбера)
Задача Коши для волнового уравнения
Теорема существования (достаточные условия разрешимости).
C2 (R), C1(R), f C1(x R,t 0)
(в этом случае полная формула Даламбера дает классическое и притом единственное решение задачи Коши)
u v w
(x at) (x at) |
|
1 x at |
|||||
v(x,t) |
|
|
|
|
|
x at (ξ)dξ |
|
|
|
2 |
2a |
||||
|
1 |
t |
x a(t ) |
|
|
|
|
w(x,t) |
d |
f (ξ, )dξ |
|||||
2a |
|||||||
|
0 |
x a(t ) |
|
|
|
||
Задача Коши для волнового уравнения
Дифференцирование интеграла, зависящего от параметра
b( p)
I ( p) F(u, p)du
a( p)
b( p) |
F(u, p)du |
I '( p) |
|
a( p) |
p |
F(b( p), p)b'( p) F(a( p), p)a '( p)
Задача Коши для волнового уравнения
|
|
|
|
|
(x at) (x at) |
|
|
1 |
x at |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
v(x,t) |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
(ξ)dξ |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2a |
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x at |
|
|
|
|
||
v |
|
|
|
'(x at) '(x at) |
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
||||||||
x |
(x,t) |
2 |
|
|
|
|
|
|
(x at) |
|
(x at) |
||||||||||||
|
2a |
2a |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
2v |
|
|
|
''(x |
at) ''(x at) |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|||
x2 |
(x,t) |
2 |
|
|
|
|
|
'(x at) |
|
'(x at) |
|||||||||||||
|
|
2a |
2a |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
v |
(x, t) |
a '(x at) a '(x at) |
|
1 (x at) |
1 |
(x at) |
|||||||||||||||||
t |
|
|
2 |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
||||
2v |
(x, t) |
a2 ''(x at) a2 ''(x at) |
a '( x at) |
|
a '( x at) |
||||||||||||||||||
t2 |
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
v C2 |
(x R, t 0), |
2v |
|
a2 |
2v |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
t2 |
|
x2 |
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Задача Коши для волнового уравнения
|
|
|
|
|
(x at) (x at) |
|
1 |
x at |
|
||||||||
|
v(x,t) |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
(ξ)dξ |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2a |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x at |
|
v |
(x, t) |
a '(x at) a '(x at) |
|
|
1 ( x at) |
1 (x at) |
|||||||||||
t |
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
2 |
||
|
|
|
|
|
(x) (x) |
|
|
1 x |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
v(x,0) |
|
|
|
|
|
|
(ξ)dξ (x) |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
2a x |
|
|
|
|
|
||||
|
v |
(x, 0) |
a '(x) a '(x) |
1 |
(x) 1 ( x) (x) |
||||||||||||
|
t |
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
||||
v(x,0) (x), |
v |
( x,0) ( x) |
|
t |
|||
|
|
|
|
Задача Коши для волнового уравнения |
|
|||||||||||
|
|
|
|
1 |
t |
x a(t ) |
|
|
|
2 |
(x R, t 0), |
|||
|
|
w(x, t) |
2a |
d |
f (ξ, )dξ |
w C |
||||||||
|
|
2 |
w |
|
2 |
w |
|
|||||||
|
|
|
|
0 |
x a(t ) |
|
f (x,t) |
|||||||
|
|
t |
|
|
|
|
|
a2 |
||||||
w (x, t) |
1 |
|
|
|
|
t |
2 |
|
x |
2 |
|
|||
|
f ( x a(t |
), ) f (x a(t ), ) |
|
|
|
|
||||||||
d |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2a 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
2w |
|
1 |
|
t |
|
f |
|
|
f |
|
||||||
|
|
2 |
(x,t) |
|
|
|
|
|
|
( x a(t ), ) |
|
|
(x |
|||
x |
2a |
x |
x |
|||||||||||||
|
|
0 |
|
|
|
|
||||||||||
w (x, t) 1 t |
|
f (x a(t ), ) f (x a(t |
||||||||||||||
t |
|
|
2 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
2w |
(x,t) |
a |
t |
|
f |
( x a(t ), ) |
f |
(x |
||||||||
t |
2 |
2 |
|
x |
x |
|||||||||||
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|||||||
2w |
|
1 t |
|
f |
|
|
f |
|
|
|||||||
|
|
|
(x,t) |
2 |
|
|
|
(x a(t ), ) |
|
|
(x |
|||||
x t |
x |
x |
||||||||||||||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
a(t ), ) d |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
), ) |
|
d |
|
|
w(x, 0) |
1 |
|
0 |
[...]d 0 |
||
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
2a |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
0 |
||||
a(t ), ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
d f (x, t) |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
a(t ), ) |
d |
|
w (x,0) 1 |
0 |
[...]d 0 |
||||||
|
|
|
|
|
t |
2 |
|
||||
|
|
|
|
|
0 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Задача Коши для волнового уравнения
Жан Леро́н Д’Аламбе́р (16 ноября 1717 — 29 октября 1783) — французский учёный-энциклопедист. Широко известен как философ, математик и механик. Член Парижской академии наук (1740), Французской Академии (1754), Петербургской (1764) и других академий.
Статуя Даламбера в Лувре
Задача Коши для волнового уравнения
Д’Аламбер был незаконным сыном маркизы де Тансен от артиллерийского офицера Детуша. Вскоре после рождения младенец был подкинут матерью на ступени парижской «Круглой церкви Св. Иоанна». В честь этой церкви ребёнок был назван Жаном Лероном. Воспитывался в усыновившей его семье стекольщика Руссо.
Отец в это время был за границей. Вернувшись во Францию, Детуш привязался к сыну, часто навещал его, помогал приёмным родителям и оплатил образование Д’Аламбера, хотя официально признать не решился. Мать-маркиза никакого интереса к сыну так и не проявила. Позднее, став знаменитым, Д’Аламбер никогда не забывал стекольщика и его жену, помогал им материально и всегда с гордостью называл своими родителями.
Фамилия Д’Аламбер, по одним сведениям, произведена из имени его приёмного отца Аламбера, по другим — придумана самим мальчиком или его опекунами: сначала Жан Лерон был записан в школе как Дарамбер (Daremberg), потом сменил это имя на
D’Alembert.
Задача Коши для волнового уравнения
Рано проявившийся талант позволил мальчику получить хорошее образование — сначала в коллегии Мазарини (получил степень магистра свободных наук), затем в Академии юридических наук, где он получил звание лиценциата прав. Однако профессия адвоката ему была не по душе, и он стал изучать математику.
Уже в возрасте 22 лет Д’Аламбер представил Парижской академии свои сочинения, а в 23 года был избран адъюнктом Академии.
В1743 вышел «Трактат о динамике», где сформулирован фундаментальный «принцип Д’Аламбера», сводящий динамику несвободной системы к статике. Здесь он впервые сформулировал общие правила составления.
В1748 Д’Аламбер провел блестящее исследование задачи о колебаниях струны.