Задача Коши для волнового уравнения
F(x)
F(x)
G(x) (x) |
|
|
G(x) |
1 x |
(ξ)dξ C |
|
a x |
|
|
0 |
|
F(x)
G(x)
|
1 |
(x) |
1 |
x |
(ξ)dξ C |
||
|
|
|
|||||
|
2 |
|
|
2a x |
2 |
||
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
1 |
(x) |
|
1 |
x |
(ξ)dξ |
C |
|
|
|
|
|
|||
|
2 |
|
|
2a x |
2 |
||
|
|
|
|
|
0 |
|
|
Задача Коши для волнового уравнения
|
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
x at |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(ξ)dξ C |
|
|
||||
|
|
F(x at) |
(x at) |
|
|
|
|||||||
|
|
2 |
2a |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
x0 |
2 |
|
|
||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
x at |
C |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
G(x at) |
2 |
|
( x at) |
|
|
(ξ)dξ |
2 |
|
|
||
|
|
2a |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
v(x,t) F(x at) |
|
|
|
(x at) (x at) |
|
||||||||
G(x at) |
|
2 |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
1 |
|
x at |
x at |
|
|
( x at) ( x at) |
|
|||||
|
|
|
(ξ)dξ |
|
(ξ)dξ |
2 |
|
|
|
||||
|
|
|
|
||||||||||
|
2a |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
x0 |
|
x0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
x0 |
x at |
|
(x at) ( x at) |
|
1 |
x at |
|
|
|
|
(ξ)dξ |
(ξ)dξ |
|
|
|
|
(ξ)dξ |
|
|
2 |
2a |
||||||||
|
2a |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
x at |
x0 |
|
|
|
|
|
x at |
|
Задача Коши для волнового уравнения
(x at) (x at) |
|
1 |
x at |
|
v(x,t) |
2 |
|
|
(ξ)dξ |
2a |
||||
|
|
|
|
x at |
(формула Даламбера решения задачи Коши для однородного волнового уравнения)
Задача Коши для волнового уравнения
|
2 |
w2 |
2 |
w2 f (x, t), |
x R, |
t 0, |
|
|
|
a2 |
|||||
|
t |
|
x |
|
|
||
|
|
|
|
x R, |
|
|
|
w(x,0) 0, |
|
|
|||||
|
w |
(x,0) 0, x R. |
|
|
|||
|
t |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
||
ξ x at
x at
w(x,t) w(ξ, ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
w(x,t) w(x at, x at) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
2 |
w |
|
2 |
w |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
a2 |
|
4a2 |
|
w |
||
|
ξ+ |
, |
ξ |
|
t2 |
x2 |
ξ |
||||||
|
|
|
|||||||||||
w(ξ, ) w |
2a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Задача Коши для волнового уравнения
|
2 |
|
|
ξ+ |
|
|
ξ |
|
|
2 |
w |
|
|||||
4a |
|
|
|
f (x,t) f |
|
, |
|
|
|
ξ |
2 |
2a |
|||||
|
|
|
|
|
||||
|
1 |
|
|
ξ+ |
|
|
ξ |
|
2 |
|
|
|
F(ξ, ) |
|
|
f |
|
, |
|
|
|
|
|
|
F(ξ, ) |
4a |
2 |
2 |
2a |
|
ξ |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
w |
|
|
Лемма. |
w(ξ,ξ) 0, |
|
(ξ,ξ) 0 |
|
|
||||
ξ |
||||
|
|
|
||
|
|
|
|
Задача Коши для волнового уравнения
w(x,0) 0, |
w |
(x,0) 0 |
|
w |
( x,0) 0 |
||
|
t |
|
|
|
x |
|
|
|
|
ξ+ |
, |
|
ξ |
|
|
w(ξ, ) w |
|
2a |
|
|
|||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ξ+ξ |
, |
ξ ξ |
w(ξ,0) 0 |
|
|
|
||||||||||||
|
|
w(ξ,ξ) w |
2 |
|
|
2a |
|
|
|
|
||||||||||||||
w |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|||||
|
|
w ξ+ ξ |
|
1 |
|
w ξ+ ξ |
||||||||||||||||||
|
(ξ, ) |
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
ξ |
|
|
2 |
|
|
2a |
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
2a |
|
|
|||||||
w |
|
x |
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
2a |
||||||||||||
|
|
|
w |
|
|
|
|
|
1 |
|
w |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|||||
|
|
(ξ,ξ) |
|
|
ξ,0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
ξ,0 |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
ξ |
x |
|
|
|
t |
|
2a |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Задача Коши для волнового уравнения
2w F(ξ, )
ξ
w F(ξ, ),ξ
|
|
0 |
|
|
w |
(ξ, ) |
|
||
|
F(ξ, )d , |
|||
ξ |
0 |
|
|
|
|
|
ξ |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
w |
(ξ, ) w |
|
|||
(ξ,ξ) |
F(ξ, )d |
||||
ξ |
|
0 |
ξ |
|
|
|
|
ξ |
|
||
w( 0 |
|
|
0 |
0 |
|
, 0 ) w(ξ0 , 0 ) dξ F(ξ, )d |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ξ0 |
ξ |
0 0
w(ξ0 , 0 ) dξ F(ξ, )d
ξ0 ξ
Задача Коши для волнового уравнения
0
|
D |
|
0 |
0 |
|
|
|||
|
|
|||
|
|
|||
|
|
|||
|
|
|||
|
||||
|
|
|||
|
|
|||
|
||||
|
|
|||
|
|
|||
|
|
|
w(ξ0 , 0 ) dξ F(ξ, )d |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ξ0 |
ξ |
|
|
|
||
|
|
|
||
|
|
|
||
|
|
|||
|
|
|
||
|
|
|
||
|
|
|||
|
|
|
||
|
|
|
||
|
|
|
ξ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ξ0 |
|
|||
0 |
|
|||
w(ξ0 , 0 ) F(ξ, )dξd
D
|
|
Задача Коши для волнового уравнения |
|
|
|
||||||||||||||||
ξ x at |
ξ |
0 |
x at |
0 |
x |
|
ξ |
+ |
, t |
|
|
|
ξ |
|
|
||||||
|
|
|
|
0 |
|
0 |
0 |
0 |
|
|
0 |
|
0 |
||||||||
|
|
|
x |
|
at |
|
0 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
2a |
|
|
|||
x at |
|
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
D(ξ, ) |
|
|
1 |
a 2a |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
t0 |
|
|
( x0 , t0 ) |
|
|
|
D(x,t) |
|
|
|
1 |
|
a |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x at x0 at0 |
|
|
|
x at x0 at0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t const |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x at |
0 |
x0 a(t0 t) |
|
x0 a(t0 t) |
|
|
x0 at0 |
|
|
|
|
|
|||||||||
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Задача Коши для волнового уравнения
|
w(x0 ,t0 ) w(ξ0 , 0 ) F(ξ, )dξd |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
D |
|
|
||||
|
F(x |
at, x at) |
|
D(ξ, ) |
|
dxdt |
|||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
D(x, t) |
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
F(ξ, ) |
1 |
|
ξ+ |
, |
|
ξ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
f |
|
|
|
|
|
|
|
|
D(ξ, ) |
2a |
|
||||||
4a |
2 |
2 |
|
2a |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
D(x,t) |
|
||||||||||
|
|
|
|
1 |
|
|
f x,t |
|
|
|
|
|
|
||||||
F(x at, x at) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
4a |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
w(x ,t ) |
1 |
|
f (x,t)dxdt |
1 |
t0 |
dt x0 |
a(t0 t ) |
f (x,t)dx |
|
|
|
|
|
|
|||||
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|||
2a |
|
2a 0 |
|
|
|
||||
|
|
|
x a(t t ) |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
|