Дистанционный курс высшей математики НИЯУ МИФИ
Уравнения математической физики 5 семестр
Лекция 2
Задача Коши для одномерного волнового уравнения.
31 октября 2014 года Лектор: профессор НИЯУ МИФИ, д.ф.-м.н.
Орловский Дмитрий Германович
Задача Коши для волнового уравнения
2u |
a2 |
2u |
f |
(x,t), x R, |
t 0, |
||
t2 |
x2 |
||||||
|
|
|
|
||||
u(x,0) (x), x R, |
|
||||||
u |
( x,0) (x), |
x R. |
|
||||
|
|
||||||
t |
|
|
|
|
|
||
Классическое решение:
u C2 (x R, t 0)
Необходимые условия разрешимости:
f C(x R, t 0), C2 (R), C1(R)
Задача Коши для волнового уравнения
|
2 |
v2 |
2 |
v2 , |
x R, |
t 0, |
|
|
|
a2 |
|||||
|
t |
|
|
x |
x R, |
|
|
v(x,0) (x), |
|
||||||
|
v |
( x,0) (x), x R. |
|||||
|
t |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
w2 |
2 |
w2 f (x,t), |
x R, |
t 0, |
|
|
|
a2 |
|||||
|
t |
|
x |
|
|
||
|
|
|
|
x R, |
|
|
|
w(x,0) 0, |
|
|
|||||
|
w |
(x,0) 0, x R. |
|
|
|||
|
t |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
||
u v w
Задача Коши для волнового уравнения
|
2 |
v2 |
2 |
v2 , |
|
|
Уравнение характеристик |
|||||||||
|
|
a2 |
x R, t |
0, |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|||
|
t |
|
|
x |
x R, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
a |
2 |
|
||||||||
v(x,0) (x), |
|
|
t |
|
|
|
|
|
||||||||
|
v |
(x,0) (x), x R. |
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
t a x , |
|
t a x |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
a |
|
0, |
dt |
dx |
, x at const |
t |
|
x |
|
1 |
a |
|
|
a |
|
0, |
dt |
dx |
, x at const |
t |
|
x |
|
1 |
a |
|
ξ x at
x at
Задача Коши для волнового уравнения
v(x,t) v(x,t)
v(ξ, )
v(ξ, )
v(x at, x at)
|
ξ+ |
, |
|
ξ |
v |
2 |
2a |
|
|
|
|
|
2 |
v |
2 |
v |
|
2 |
|
|
|
a2 |
4a2 |
|
v |
|
||
t2 |
|
ξ |
|||||
x2 |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
v 0
ξ
Задача Коши для волнового уравнения
2v |
0, |
|
v |
0, |
v |
C( ), |
||
|
|
|
|
|
|
|||
ξ |
|
|
|
|||||
|
ξ |
|
|
|
|
|||
v C( )d F(ξ) G( ) F(ξ)
v F(ξ) G( ), |
v |
G '( ), |
2v |
0 |
|
|
ξ |
||||
|
|
|
Задача Коши для волнового уравнения
v(ξ, ) F(ξ) G( )
v(x,t) v(x at, x at) F(x at) G(x at)
2v |
a2 |
2v |
|
v F(x at) G(x at) |
|
t2 |
x2 |
||||
|
|
|
(формула Даламбера, формула бегущих волн)
Задача Коши для волнового уравнения
v F(x at)
v 
v F(x)
v F(x at)
x at 
Скорость перемещения |
at |
a |
t |
||
|
|
Задача Коши для волнового уравнения
v G(x at)
v 
v G(x at)
v G(x)
x at 
Скорость перемещения |
at |
a |
t |
||
|
|
Задача Коши для волнового уравнения
|
2 |
v2 |
2 |
v2 , |
x R, |
t 0, |
|
|
|
a2 |
|||||
|
t |
|
|
x |
x R, |
|
|
v(x,0) ( x), |
|
||||||
|
v |
(x,0) ( x), x R. |
|||||
|
t |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
v F(x at) G(x at)
F(x) G( x) (x)
aF '(x) aG '(x) (x)
F '(x) G '(x) |
1 |
(x), |
F( x) G( x) |
1 x |
(ξ)dξ C |
|
a |
|
|
a x |
|
|
|
|
|
0 |
|