Приведение уравнения с двумя переменными
A T 1 A(T 1 ) '
|
1 |
|
|
|
|
2 |
||
|
||
|
1 |
|
|
||
|
|
|
2 |
||
|
1
2
1
2
1
21 2
1
20 1 1 2
1 1
2 2
1 1
2 2
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
2 |
|
2 |
|
|||||||
|
|
|
||||||||
|
0 |
|
|
|
|
|
||||
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
0 |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|||
|
|
1 |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2u |
2u |
|
|
|
|
u u |
|
2 |
2 |
|
|
|
, |
0 |
|
F x, y, u, |
|||||||
x |
y |
|
|
|
|
x |
y |
|
|
|
|||||
Приведение уравнения с двумя переменными
Уравнение параболического типа
b2 ac 0
a 0 b 0, c 0
a x (b b2 ac ) y 0 a x b y 0
Пусть ξ – решение характеристического уравнения
aξx bξ y 0,
а η – любая функция, не зависящая от ξ. Тогда пара функций ξ, η дает искомую замену переменных. Покажем это.
Приведение уравнения с двумя переменными
Так как функция ξ является решением характеристического
уравнения, то
a 0.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cξ y ηy |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
b aξx ηx b ξx ηy ξ y ηx |
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
aξx bξ y ηx bξx cξ y ηy bξ x cξ y ηy |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
Из равенства нулю дискриминанта получаем |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
b2 ac 0 c |
|
b2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cξ |
y |
η |
|
|
|
|
b2 |
ξ |
|
η |
|
|
|
b |
|
aξ |
|
bξ |
y |
η |
|
0 |
b bξ |
x |
y |
bξ |
x |
|
y |
y |
|
x |
y |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
a |
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Приведение уравнения с двумя переменными
Таким образом, после замены переменной получаем следующее
уравнение |
|
|
|
|
2u |
|
|
|
u |
|
|
u |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
c(ξ, η) |
|
|
|
|
|
|
, |
0 |
||||||
|
η |
2 F ξ, η, u, |
ξ |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
η |
|
||
или |
2u |
|
|
1 |
|
|
|
u |
|
|
u |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
η |
2 |
|
|
|
|
F |
ξ, η, u, |
ξ |
, |
|
|
0, |
||
|
|
|
c(ξ, η) |
|
|
|
|
η |
|
||||||
а это и есть каноническое уравнение параболического тип.
Приведение уравнения с двумя переменными
Уравнение эллиптического типа
b2 ac 0
Решения обеих уравнений системы
|
|
(b |
b |
2 |
ac )ξ y |
0 |
|
aξx |
|
||||||
|
|
(b |
b2 ac )η |
|
0 |
||
aη |
x |
y |
|||||
|
|
|
|
|
|
||
будут комплексными. Это нас не устраивает. Вместо этой пары уравнений рассмотрим исходную форму
a x (b i ac b2 ) y 0
ипусть его решение (с любым выбранным знаком)
(x, y) ξ( x, y) iη( x, y)
Покажем, что ξ и η – искомая замена переменных.
Приведение уравнения с двумя переменными
a |
x |
(b i ac b2 ) |
y |
0 |
|
a 2 2b |
c 2 |
0 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
x y |
|
y |
|
|||
|
|
|
|
|
|
(x, y) ξ(x, y) |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
iη(x, y) |
|
|
|
|
|
||||
a(ξx iηx )2 |
2b(ξ x |
iηx )(ξ y iηy ) c(ξ y |
iηy )2 |
0 |
|||||||||||
|
|
|
2 |
|
2 |
|
|
2 |
|
2 |
|
|
|
||
|
|
a(ξx |
ηx ) 2b(ξ xξ y ηxηy ) c(ξ y |
ηy ) 0 |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2aξx ηx 2b(ξ x ηy ξ y ηx ) 2cξ yηy 0 |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
2bξ xξ y |
|
2 |
2 |
|
|
2 |
|
|
|||
|
|
|
aξx |
cξ y aηx 2bηxηy |
cηy |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
ηx b(ξ x ηy ξ y ηx ) cξ y ηy 0 |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
aξx |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ab
c0
Приведение уравнения с двумя переменными
ab
|
|
2 |
u |
|
2 |
u |
|
|
|
u u |
||||
c |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
ξ, η,u, |
|
, |
0 |
|||
|
a |
|
|
2 a |
|
|
2 |
|
|
|||||
0 |
ξ |
η |
F |
ξ |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
η |
||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
ac 0 |
a 0 |
|
|
|
|||
2u |
|
2u |
|
|
|
1 |
|
|
ξ, η, u, |
u |
, |
u |
0 |
||
ξ |
2 |
|
η |
2 |
|
|
|
|
F |
|
ξ |
|
|||
|
|
|
|
|
a(ξ, η) |
|
|
|
|
η |
|
||||
А это и есть каноническое уравнение эллиптического типа.
Примеры
Пример 1 |
uxx (1 y2 )2 uyy 2(1 y2 )uy 0 |
|
|
a 1, b 0, c (1 y2 )2 b2 ac (1 y2 )2 0
ξx (1 y |
2 |
)ξ y 0 |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(1 y2 ) |
|
0 |
|
|
|||
|
y |
|
|
|||||
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ξx (1 y2 )ξ y 0, |
dx |
|
|
dy |
, |
|||
|
1 |
(1 y2 ) |
||||||
|
|
|
|
|
|
|||
x arctg y const, |
ξ x arctg y |
|
||||||
Примеры |
|
|
|
|
x (1 y2 ) y 0, |
dx |
|
dy |
, |
1 |
|
|||
|
1 y2 |
|
||
x arctg y const, |
x arctg y |
|||
ξ x arctg y
x arctg y
uy 1 uξy2
uxx uξξ 2uξ u
uyy |
|
uξξ |
|
|
2uξ |
|
|
u |
|
2 yuξ |
|
2 yu |
|
(1 |
y2 )2 |
(1 |
y2 )2 |
(1 |
y2 )2 |
(1 y2 )2 |
(1 y2 )2 |
||||||
|
|
|
|
|
Примеры
|
|
|
|
|
|
|
|
uxx |
(1 y2 )2 uyy |
2(1 y2 )uy |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(uξξ 2uξ u ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
(1 |
y |
2 |
) |
2 |
|
|
uξξ |
|
|
|
|
|
2uξ |
|
2 |
|
u |
|
|
2 |
2 yuξ |
|
2 |
2 yu |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
(1 |
y |
2 |
) |
2 |
(1 |
y |
2 |
) |
(1 y |
2 |
) |
(1 |
y |
2 |
) |
(1 |
y |
2 |
) |
2 |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2(1 y2 ) |
uξ |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 y2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4uξ |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
uξ |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ответ: |
|
|
|
|
ξ x arctg y |
|
|
uξ |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
x arctg y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|