Дистанционный курс высшей математики НИЯУ МИФИ
Уравнения математической физики 5 семестр
Лекция 1
Приведение уравнений к каноническому виду.
17 октября 2014 года Лектор: профессор НИЯУ МИФИ, д.ф.-м.н.
Орловский Дмитрий Германович
Основные определения, примеры
Уравнение в частных производных для функции
u u(x1, x2 ,..., xn )
c n независимыми переменными
|
, x2 |
,..., xn , u, |
u |
, |
u |
,..., |
u |
,..., |
k u |
|
|
0 |
|
F x1 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
x1 |
x2 |
xn |
k k |
k |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
1 x1 |
2 x2 ... |
n xn |
|
||||
Линейное уравнение второго порядка с n независимыми переменными
n |
|
|
|
2 |
u |
|
n |
u |
|
aij |
( x1 |
, x2 ,..., xn ) |
|
|
bi ( x1, x2 ,..., xn ) |
|
|||
x x |
|
x |
|||||||
i, j 1 |
|
|
j |
i 1 |
|
||||
|
|
i |
|
|
i |
|
|||
c( x1 |
, x2 |
,..., xn )u d ( x1, x2 ,..., xn ) 0 |
|
|
|||||
Основные определения, примеры
Соглашение:
В линейном уравнении второго порядка матрицу
A aij
считаем симметричной.
Определение:
Матрица А называется матрицей уравнения.
... |
a |
|
2u |
|
|
|
|
... |
a |
|
|
|
|
2u |
|
|
... 0 |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
ji x |
|
x |
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
ij x x |
j |
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
j |
|
|
|
|
|
||||||||
... (a |
a |
|
|
) |
|
2u |
|
... 0 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
x x |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
ij |
|
ji |
|
|
|
|
j |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
... |
|
aij a ji |
|
|
|
|
|
2u |
|
|
|
|
aij a ji |
|
|
2u |
|
... 0 |
|||||||||||||
|
|
|
2 |
|
|
x x |
j |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
x x |
j |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|||
... |
|
aij a ji |
|
|
|
|
|
2u |
|
|
|
|
aij a ji |
|
|
2u |
|
... 0 |
|||||||||||||
|
|
|
2 |
|
|
x x |
j |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
x |
x |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
j |
|
i |
|
||
A |
aij a ji |
|
|
A A |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
ji |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
ij |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ij |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
... |
A |
2u |
|
|
|
|
A |
|
|
|
2u |
|
... 0 |
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
ji x |
|
x |
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
ij x x |
j |
|
j |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Основные определения, примеры
Характеристической формой уравнения в точке
x ( x1, x2 ,..., xn )
называется квадратичная форма
n
Q(ξ1, ξ1,..., ξn ) aij ( x1, x2 ,..., xn )ξiξ j
i, j 1
Линейное уравнение в частных производных второго порядка классифицируется в зависимости от нормального вида
характеристической формы Q
n |
2 |
|
|
|
Q(ξ1,ξ1,...,ξn ) |
, |
εi {1; 1;0} |
||
εi ξi |
||||
i, j 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Основные определения, примеры
Эллиптический тип: либо все коэффициенты
ε1 ε2 ... εn 1
либо все коэффициентыε1 ε2 ... εn 1.
Гиперболический тип: либо один из коэффициентов равен 1, а все остальные равны –1, либо один из коэффициентов равен – 1, а все остальные равны 1.
Параболический тип: либо один из коэффициентов равен 0, а все остальные равны 1, либо один из коэффициентов равен 0, а все остальные равны –1.
Приведение линейным преобразованием
|
x |
|
|
|
t t . . . t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
( 1) |
t |
( 1) |
. . . t |
( 1) |
|
x1 |
|
|
|
x1 |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
x1 |
|
x1 |
x1 |
|
|
11 |
|
12 |
|
1n |
|
|
|
||||||||||||||||||
1 |
|
11 |
12 |
1n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
x |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
21 |
t22 |
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
( 1) |
t |
( 1) |
. . . t |
( 1) |
|
2 |
|
1 |
2 |
|||||||||||
x2 |
t |
. . . t2n |
x2 |
|
T |
x2 |
|
x2 |
|
21 |
|
22 |
|
2 n |
|
|
|
T |
|
|
|
||||||||||||||||
... |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
... |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
... |
|
|
... |
|
||||||||||
. . . . . . . . . . |
|
. . . . . . . . . . |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
x |
|
|
t |
|
t |
|
. . . t |
|
|
... |
|
|
... |
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
xn |
|
|
|
|
xn |
|
||||
n |
n1 |
n2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( 1) |
|
( 1) |
|
( 1) |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
nn |
xn |
|
|
xn |
|
x |
|
tn1 |
tn 2 |
. . . tnn |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
xk tk1 |
x1 |
tk 2 |
x2 ... tkn |
xn |
|
|
|
tki |
|
|||||||||
|
xk |
|
||||||||||||||||
|
( 1) |
|
|
( 1) |
( |
1) |
|
|
|
|
|
|
( |
1) |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
xi |
|
|
|
|
|
|
|
|
u |
n |
|
|
u |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
( 1) |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
tki |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
xi |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
k 1 |
|
|
xk |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
2 |
u |
|
|
n |
|
|
|
2 |
u |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
( 1) |
( 1) |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
tki |
tmj |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
xi x j |
k ,m 1 |
|
|
|
xk xm |
|
|
|
|||||||
Приведение линейным преобразованием
n |
|
n |
|
2 |
|
|
n |
|
u |
||||||||
aij |
tki( 1)tmj( 1) |
|
bi |
|||||
|
|
|
||||||
i, j 1 |
k ,m 1 |
|
|
i 1 |
||||
xk xm |
||||||||
|
n |
( 1) |
u |
|
||
|
tki |
|
|
cu d 0 |
||
|
||||||
k 1 |
|
|
|
|||
|
xk |
|
||||
n |
|
n |
( 1) |
( 1) |
|
|
2u |
|
|
|
n |
|
|
|
n |
|
( 1) |
|
u |
|
|
||||||
|
|
tki |
tmj |
aij |
|
|
|
|
|
|
|
|
tki |
bi |
|
|
|
cu d 0 |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
k ,m 1 i, j 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k 1 |
|
i 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
xk xm |
|
|
|
|
|
xk |
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
tmj aij , |
|
bk |
|
|
n |
|
bi |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
akm tki |
|
|
tki |
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( |
1) |
( |
1) |
|
|
|
|
|
|
( |
1) |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
i, j 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i 1 |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
n |
|
|
2u |
|
|
|
|
n |
|
|
|
u |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
akm |
|
|
|
|
|
|
bk |
|
|
|
|
cu d 0 |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
xk |
|
|||||||||||||||
|
|
|
k ,m 1 |
|
xk xm |
|
k 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Приведение линейным преобразованием
|
n |
|
tmj aij , |
|
n |
|
bi |
akm tki |
|
bk tki |
|
||||
|
( |
1) |
( 1) |
|
( |
1) |
|
|
i, j 1 |
|
|
|
i 1 |
|
|
a11
a A 21
. . .
a n1
a12 . . . a1n a22 . . . a2n
. . . . . . .
an2 . . . ann
,
|
|
|
|
|
|
|
a11 |
a12 |
. . . a1n |
||
|
|
|
|
. . . |
|
a 21 |
a22 |
a2n |
|||
A |
|
|
|
|
|
|
. . . . . . . . . . |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
. . . |
|||
|
a n1 |
an2 |
ann |
||
,
b1 |
|
|
b |
|
|
2 |
|
, |
b |
|
|
... |
|
|
b |
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
b1 |
||
|
|
|
|
b2 |
|
||
b |
|
|
|
|
... |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
bn |
||
|
1 |
A(T |
1 |
) ', |
|
1 |
A T |
|
|
b T |
b |
Приведение линейным преобразованием
|
ξ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
n |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
ξ |
|
|
Q aijξiξ j |
|
|
|
|
|
εi {1; 1;0} |
||||||||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
εi ξi |
|
|
||||||||||||||||||
|
ξ2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i, j 1 |
|
|
|
i 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
ξ2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
... |
U |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ε1 |
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
... |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
ξn |
|
|
|
ξ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
Q 0 |
0 |
|
|
U 'QU U ' AU |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
εn |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
' |
AU |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
Q U |
|
|
|
|
|
|
|
|
T (U 1 ) ' |
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
A(T |
1 |
) ' |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
A T |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
U |
|
|
|
|
' |
|
||||||
|
|
|
1 |
A(T |
1 |
) ' U |
1 |
' |
1 |
A |
1 |
' |
1 |
|
||||||||||||||||
|
A T |
|
|
|
|
|
|
|
|
U ' AU Q |
||||||||||||||||||||
Примеры
Пример 1 2uxy 4uyy ux 2uy u x 0
Характеристическая форма: |
|
|
1 |
|
|
|
2 |
|
1 |
2 |
|
|||||||
|
|
|
|
Q 2ξ 4 |
2 |
|
ξ |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
2 |
|
|
2 |
ξ |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
ξ |
2 |
ξ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
||||
Q |
2 |
|
2 |
|
|
U |
1 |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
ξ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
ξ 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
1 b 2
2
1
T (U 1 ) ' 2
0
|
1 |
|
1 |
|
x |
2 |
x |
2 |
y |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
y |
2 y |
|
|
|
Примеры
1 |
|
|
|
|
2 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
T 1 |
|
|
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
1 |
||
2 |
|
|
|
0 |
|
|
||
|
|
|
|
2 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
2 |
|
1 |
1 |
||||
b T |
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
|
||||
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
1 |
||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|