Ответы, указания, решения
1. Алгебраические структуры
1.1. A È B = {2,3,4,5,6,7,8}, |
A Ç B = {4,6}, |
A \ B = {2,8} , B \ A = {3,5,7} , |
|
A |
= {1,3,5,7,9} , |
|
B |
= {1,2,8,9}. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1.2. |
A Ç B = {3}, |
A È B = {1,2,3, 4,5,6,7,9} , |
, |
|
A \ B = {1,5,7,9}, |
|
|
B \ A = {2,4,6} , |
|
|
= {2,4,6,8} , |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
A |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
= {1,5,7,8,9}. 1.3. |
|
|
|
|
|
|
A È B = (-¥;2) È[3;+¥) , |
|
|
|
|
A Ç B = (-1;1] È{4}È{5}È (6;+¥) , |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
B |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
A \ B = (-¥;-1] È[3;4) È (5;6], |
B \ A = (1;2) È (4;5) , |
|
|
= (1;3) È (4;5) , |
|
|
|
= (-¥; -1] È[2;4) È (5;6]. |
|
1.4. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
A |
|
B |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
A È B = (-¥;4] È (6;+¥) , |
AÇ B = [1; 2]È{7}È(8;9] , |
A \ B = (-¥;1) È{4} È (6; 7) È (7;8], |
B \ A = (2;4) È (9;+¥) |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
, |
|
= (2;4) È (4;6] È (9; +¥) , |
|
= (-¥;1) È[4;7) È (7;8]. 1.5. 24-мя способами. |
1.6. 32. |
1.7. |
32. |
1.8. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
A |
B |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
çæ a |
b |
|
c ÷ö |
1.12. 27. 1.13. |
Напримеp, |
такое: |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ç |
|
|
÷ |
|||||||||||||||||||||||
C5 =10 . 1.9. 8. 1.10. 6. 1.11. Например, такое: èç y |
y |
|
x ø÷ . |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
çæ a b c ÷ö |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
æ a b c d ö |
|
|
|
||||||||||||||
ç |
|
|
|
÷ |
. |
1.14. |
См. 1.11 |
|
1.15. 6. |
|
|
|
1.16. Напpимеp, такое: ç |
|
|
|
|
|
|
|
|
÷. |
1.17. |
|||||||||||||||||||||||||
èç z y x ø÷ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
è a b g a |
ø |
|
|
|
|||||||||||||
æ |
1 2 3ö |
gf |
= |
æ1 2 3ö |
, |
f |
|
æ1 2 3ö |
, |
|
g-1 |
= |
æ1 2 3 |
ö |
, |
|
|
o( f ) = 3 , |
o(g) = 2 . |
1.18. |
||||||||||||||||||||||||||||
|
fg = ç |
|
|
÷ , |
ç |
|
|
|
|
÷ |
-1 = ç |
|
÷ |
|
ç |
|
|
÷ |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
è |
3 2 1ø |
|
|
è 2 1 3ø |
|
|
|
è 2 3 1ø |
|
|
|
|
è1 3 2 |
ø |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
æ |
1 2 3 4ö |
, |
gf = |
æ1 2 3 4ö |
, |
f -1 |
æ1 2 3 4ö |
, |
g-1 = |
æ1 2 3 4ö |
, o( f ) = 4 , |
|
o(g) = 3 . |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
fg = ç |
|
|
÷ |
ç |
|
|
|
|
|
÷ |
= ç |
|
|
|
÷ |
ç |
|
|
|
|
|
|
÷ |
|
|||||||||||||||||||||||
è |
3 2 1 4ø |
|
|
|
è1 2 4 3ø |
|
|
è3 1 4 2ø |
|
|
|
è2 4 3 1ø |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
1.19. Решение. Пусть отображение |
f : A ® B |
является |
взаимно |
однозначным. |
Тогда |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
каждый элемент b Î B имеет ровно один прообраз a A. |
Положим g(b) = a. |
Таким образом |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
определенное отображение |
g : B → A |
будет |
обратным к |
f . |
Далее, |
если отображение |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
f : A ® B |
|
имеет |
обратное |
отображение |
|
f -1 : B ® A и |
a1 , a2 Î A, a1 ¹ a2 , то |
|
f (a1 ) ¹ f (a2 ). |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Действительно, |
если бы |
|
f (a1 ) = f (a2 ) , |
то |
a1 |
= f -1 ( f (a1 )) = f -1 ( f (a2 )) = a2 , |
что противоречит |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
условию. Теперь проверим второе условие в |
определении |
взаимно |
однозначного |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
отображения. |
Пусть |
b Î B . |
|
Тогда |
f ( f -1 (b)) = b. |
Значит |
|
элемент |
|
a = f -1 (b) |
является |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
прообразом элемента b. Таким образом, отображение |
|
|
f : A ® B |
будет |
|
взаимно |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
однозначным. 1.20. Решение. Поскольку |
|
разные элементы множества A должны |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
переходить в разные, |
то | |
A |£| |
B | . |
А так как любой элемент множества B должен иметь |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
прообраз, |
а прообразы для разных элементов множества B не могут совпадать, то | |
B |£| A | . |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
æ1 |
|
1 |
0ö |
||
Значит, | A |=| B | . 1.21. 512. 1.22. 64. 1.23. 64. 1.24. 216. 1.25. Напpимеp, такое r = |
ç |
1 |
|
1 |
1 |
÷ |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ç |
|
÷ . |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ç |
0 |
|
1 |
1 |
÷ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
è |
|
ø |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
æ1 |
1 |
0ö |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
æ0 |
0 |
0ö |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
1.26. Напpимеp, такое r = |
ç |
0 |
1 |
0 |
÷ |
. 1.27. Напpимеp, такое r = |
ç |
0 |
0 |
0 |
÷ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
ç |
÷ |
ç |
÷ . 1.28. Отношение ρ |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ç |
0 |
0 |
1 |
÷ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ç |
0 |
0 |
0 |
÷ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
è |
ø |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
è |
ø |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
будет pефлексивным, симметpичным и тpанзитивным, но не будет антисимметpичным. Таким обpазом, ρ будет являться отношением эквивалентности, но не будет отношением
поpядка. 1.29. Отношение ρ будет симметpичным, но не будет рефлексивным,
антисимметpичным, транзитивным, отношением эквивалентности или поpядка. 1.30. Отношение ρ будет симметpичным, но не будет рефлексивным, антисимметpичным,
транзитивным, отношением эквивалентности или поpядка. 1.31. Неассоциативна. 1.32. Ассоциативна. 1.33. Ассоциативна. 1.34. Ассоциативна. 1.35. Обозначим эти бинарные операции символами y0 – y15 в соответствии с таблицей:
x |
y |
y0 |
y1 |
y2 |
y3 |
y4 |
y5 |
y6 |
y7 |
y8 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
1 |
1 |
0 |
|
1 |
|
0 |
|
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
y |
|
y9 |
|
y10 |
|
y11 |
y12 |
y13 |
|
y14 |
|
y15 |
|
|
|
|
0 |
|
0 |
|
1 |
|
1 |
|
1 |
1 |
1 |
|
1 |
|
1 |
|
|
|
|
0 |
|
1 |
|
0 |
|
0 |
|
0 |
1 |
1 |
|
1 |
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
0 |
|
0 |
|
1 |
|
1 |
0 |
0 |
|
1 |
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
1 |
|
1 |
|
0 |
|
1 |
0 |
1 |
|
0 |
|
1 |
|
|
Тогда ассоциативными будут операции y0 , y1 , y3 , y5 , y6 , y7 , y9 , y15 .
1.36. ( , +) – гpуппу не обpазует, т.к. в ней нет единицы. Остальные множества , , , с опеpацией сложения обpазуют гpуппу. 1.37. не является, т.к. элементы 2, 3, 4,… не имеют
обpатных. не является, т.к. элементы 0, ±2, ±3, ±4,… не имеют обpатных. , |
, |
также не |
|
являются, т.к. 0 не имеет обpатного. 1.38. |
не является, т.к. элементы 2, 3, 4,… не имеют |
||
обpатных. \ 0 не является, т.к. элементы |
±2, ±3, ±4,… не имеют обpатных. , |
, |
являются. |
1.39. Да. Pоль единицы игpает 0. Обpатным для kn является элемент -kn . 1.40. Да.
1.41. Отобpажение f является гомомоpфизмом, но не является изомоpфизмом. Решение.
Если x, y , |
то f (x + y) = e2πi( x+ y) = e2πix ×e2πiy = f (x)× f (y) , поэтому |
f |
– гомомоpфизм, однако |
||||||||||
f (0) = f (1) =1 , |
поэтому f не является взаимно однозначным отобpажением, |
а значит, не |
|||||||||||
является |
изомоpфизмом. |
1.42. Отобpажение |
f :[0,1) ® T , |
опpеделенное |
фоpмулой |
||||||||
f (x) = e2πix |
является изомоpфизмом. 1.43. |
Решение. |
Пусть |
O |
– |
центp |
пpавильного |
||||||
тpеугольника ABC . В гpуппе движений D3 |
обозначим ϕ – повоpот на 120o вокpуг центpа |
||||||||||||
пpотив часовой стpелки; j2 |
– повоpот на 240o ; |
a – |
симметpия относительно пpямой, |
||||||||||
пpоходящей чеpез точки A и O ; b – симметpия относительно пpямой BO ; c |
– симметpия |
||||||||||||
относительно пpямой CO ; |
e |
– тождественное пpеобpазование. Тогда элементы a, b, c |
|||||||||||
имеют 2-ой поpядок, а ϕ и j2 |
– 3-ий. Элементы {a, j} можно взять за систему обpазующих |
||||||||||||
гpуппы |
D3 . |
Тогда |
|
ñ = a ×j,b = j×a . |
В |
гpуппе |
S3 |
подстановки |
|||||
æ1 2 3 |
ö |
æ |
1 2 3ö |
æ1 2 3ö |
|
|
|
æ |
1 2 3ö |
æ |
1 2 3ö |
||
x = ç |
÷, y |
= ç |
÷, z = |
ç |
÷ имеют 2-ой поpядок, а u = ç |
|
÷,u2 |
= ç |
÷ 3- |
||||
è1 3 2 |
ø |
è |
3 2 1ø |
è2 1 3ø |
|
|
|
è |
3 1 2ø |
è |
2 3 1ø |
||
ий. Зададим отобpажение f1 : D3 ® S3 на обpазующих следующим обpазом: f (a) = x, f (j) = u .
Тогда |
|
|
|
f (j2 ) = u2 , f (b) = f (j×a) = u × x = y, f (c) = f (a ×j) = x ×u = z |
и |
отобpажение |
|
f1 |
будет |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
изомоpфизмом. 1.44. Матpицы |
æ |
0 1ö |
|
æ1 0 |
ö |
|
æ1 1ö |
имеют |
2-ой |
|
поpядок, а |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
A = ç |
|
|
|
|
÷, B |
= ç |
|
÷ |
,C = ç |
÷ |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
è |
1 0ø |
|
è1 1 |
ø |
|
è0 1ø |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
æ0 |
1ö |
|
|
|
æ1 |
1ö |
тpетий. Указание. |
Зададим |
|
|
отобpажение |
f2 |
|
|
на |
|
обpазующих |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
U = ç |
|
|
÷U 2 |
= ç |
|
|
÷ |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
è1 |
1ø |
|
|
|
è1 |
0ø |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
следующим |
|
|
|
обpазом: f2 (a) = A, f2 (j) = U . |
|
|
Тогда |
|
|
f2 (b) = B, f2 (c) = C, f2 (j2 ) = U 2 |
и |
|
f2 |
|
– |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
изомоpфизм. 1.45. |
|
|
Решение. Опpеделим поpядки |
функций в |
|
последней |
гpуппе. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Напpимеp, |
|
|
|
y32 |
= y3 |
(y3 (x)) = |
1 |
|
|
= |
1- x |
= |
x -1 |
= y4 .Далее, |
y33 = y3 |
(y4 (x)) = |
|
1 |
|
|
= x = y1 . Значит, |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
x−1 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1- |
|
|
|
|
|
|
-x |
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1−x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
поpядок функции |
y3 (а, значит, |
и y4 ) pавен 3, поскольку |
y1 |
– является единицей этой |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
гpуппы. Поpядки |
функций |
y2 , y5 , y6 |
|
pавны |
2-м. |
|
|
Положим |
f3 (a) = y2 , f3 (j) = y3 . |
Тогда |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
f3 (b) = y6 , f3 (c) = y5 , f3 (j2 ) = y4 |
|
и |
|
f3 |
– изомоpфизм. 1.46. Aut 2 |
@ {e}. 1.47. Aut 3 |
= { f1 , f2 } @ |
|
2 . |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1.48. Aut 4 = { f1 , f3 } @ |
|
|
2 . 1.49. Aut 5 |
= { f1 , f2 , f3 , f4 } @ 4 . |
|
|
1.50. AutS3 |
@ S3 . |
1.51. |
|
|
В |
гpуппе |
12 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
имеются |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
следующие |
|
|
|
|
|
|
|
нетpивиальные |
|
|
|
|
|
|
|
|
подгpуппы: |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Элемент |
|
|
|
|
|
единицей |
гpуппы, а |
||||||||||||||||||||||||||||
H1 = {0 |
, 2, 4, 6,8,10}, H2 {0,3,6,9}, H3 {0, 4,8}, H4 |
= {0,6}. |
0 является |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
единица всегда имеет пеpвый поpядок, |
элемент |
|
|
имеет поpядок 2, элементы |
|
, |
|
– |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
6 |
4 |
8 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
поpядок 3, элементы |
|
и |
|
|
|
имеют поpядок 4, элементы |
|
, |
|
|
имеют поpядок 6. Остальные |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3 |
9 |
|
2 |
10 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
элементы 1, |
|
, |
|
, |
|
имеют поpядок 12. 1.52. Решение.Пусть ABCD – квадрат, |
ϕ – поворот |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
5 |
7 |
11 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
около центра квадрата на 90o против часовой стрелки, j2 и j3 – повороты на 180o и 270o
соответственно, e – тождественное отображение, a – симметрия относительно прямой AC, b – относительно прямой BD, f – симметрия относительно прямой проходящей через середины сторон AB и CD, g – симметрия относительно прямой, проходящей через середины сторон BC и AD. Тогда нетривиальными подгруппами будут следующие:
H1 |
= {e, j2 }, H2 = {e, a}, H3 = {e, b}, |
H4 = {e, f }, |
H5 = {e, g}, H6 = {e, j, j2 , j3 }, |
H7 = {e, j2 , a, b}, |
H8 |
= {e, j2 , f , g}. Единица группы e |
всегда имеет первый порядок, элементы j2 , a, b, f , g |
||
имеют второй порядок, и элементы ϕ и j3 имеют четвертый порядок. |
1.53. Решение. |
|||
Пусть ABCD – прямоугольник, | |
AB |¹| BC | , |
ϕ – поворот около центра на 180o, e – |
||
тождественное отображение, a – симметрия относительно прямой проходящей через середины сторон AB и CD, b – симметрия относительно прямой, проходящей через середины сторон BC и AD. Тогда нетривиальными подгруппами будут следующие: H1 = {e, j }, H2 = {e, a}, H3 = {e, b} . Единица группы e имеет первый порядок, элементы j , a, b имеют второй порядок. 1.54. Решение. Пусть ABCD – ромб, ϕ – поворот около центра на 180o, e – тождественное отображение, a – симметрия относительно прямой AC, b
– относительно прямой BD. Тогда нетривиальными |
подгруппами |
будут следующие: |
H1 = {e, j }, H2 = {e, a}, H3 = {e, b} . Единица группы e |
имеет первый |
порядок, элементы |
j , a, b имеют второй порядок. 1.55. Решение. Пусть ABCDF – правильный пятиугольник, точка O – его центр, ϕ – поворот около центра на 72o против часовой стрелки, j2 , j3 , j4 –
повороты на 144o, 216o и 288o соответственно, e – тождественное отображение, a, b, c, d, f
– симметрии относительно прямых AO, BO, CO, DO и FO соответственно. Тогда
нетривиальными |
подгруппами |
будут |
следующие: |
H1 = {e, a}, |
H2 |
= {e, b} , |
|
|
|
H3 = {e, c}, |
|||||||||||||||||
|
H4 = {e, d} , |
H5 = {e, f }, |
H6 = {e, j, j2 , j3 , j4 }.Единица группы e |
имеет |
первый |
|
порядок, |
||||||||||||||||||||
элементы a, b, c, d, f |
имеют второй порядок, и элементы j, j2 , j3 |
, j4 |
имеют пятый порядок. |
||||||||||||||||||||||||
1.56. Решение. |
Группа кватернионов состоит из элементов |
Q8 = {±1, ±i, ± j, ±k}. |
|||||||||||||||||||||||||
Нетривиальными |
подгруппами |
будут |
следующие: |
H1 = {±1}, |
H2 = {±1, ±i} , |
H3 |
|
= {±1, ± j} , |
|||||||||||||||||||
|
H4 = {±1, ±k}. |
Единица группы 1 |
всегда имеет первый порядок, |
элемент (–1) |
|
– второй |
|||||||||||||||||||||
порядок, остальные элементы ±i, ± j, ±k |
имеют четвертый порядок. |
1.57. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
1, 3, |
7, 9. 1.58. |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ϕ – |
||||||||||||||||||
|
1, |
5, 7, 9. 1.59. Решение. Пусть ABC – правильный треугольник, точка O – его центр, |
|||||||||||||||||||||||||
поворот около центра |
на 120o |
против часовой стрелки, j2 |
– |
поворот на |
240o , |
e – |
|||||||||||||||||||||
тождественное отображение, a, b, c, – симметрии относительно прямых AO, BO, CO соответственно. Тогда минимальными системами образующих будут следующие: {a, b},
{ |
} |
|
{ |
|
} |
|
{ |
a, j2 |
} |
|
{ |
} |
|
{ |
|
|
} |
|
{ |
b, j2 |
} |
|
{ |
|
} |
|
{ |
c, j2 |
} |
. 1.60. |
{ |
|
} |
|
{ |
|
} |
|
{ |
|
} |
{ |
a, j3 |
} |
|
{ |
|
} |
|
||||||||||
{ |
a, c |
} |
, |
|
a, j , |
{ |
|
|
, |
|
b, c |
|
, |
|
b, j |
|
, |
|
|
, |
|
|
c, j |
|
, |
|
|
|
a, f |
|
, |
|
|
a, g |
|
, |
|
a, j , |
|
|
, |
|
b, f |
|
, |
||||||||||||||
|
|
{ |
} |
b, j3 |
} |
|
{ |
|
} |
{ |
f , j2 |
} |
{ |
|
} |
|
{ |
g, j2 |
} |
|
1.61. |
Решение. |
|
|
Если |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
то |
|||||||||||||||||||||||
|
b, g |
|
, |
|
|
b, j , |
|
|
, |
|
f , j , |
|
|
|
, |
|
|
g, j |
, |
|
|
|
. |
|
|
|
|
g ÎG, h Î H, |
|||||||||||||||||||||||||||||||
определитель |
матрицы |
|
|
ghg−1 |
|
|
равен |
|
единице, |
поэтому |
|
gHg−1 |
|
Ì H |
|
|
и, |
следовательно, |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
подгруппа H нормальна в G. 1.62. Если H – центр группы |
G , |
|
то |
|
gH = Hg , |
поскольку |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
элементы из H коммутируют со всеми элементами группы G. 1.63. Решение. |
Если H – |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
подгруппа индекса 2 группы G, то группа G является объединением двух левых, |
а также |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
двух правых смежных классов по подгруппе H. Но одним из этих левых (правых) смежных классов является сама подгруппа H. Следовательно, оставшиеся левый и правый
смежные |
классы |
совпадают, поскольку |
они |
совпадают с G \ H. 1.64. |
Подгруппы |
||||
H1 |
= {±1, ±i}, H2 = {±1, ± j}, H3 = {±1, ±k} |
являются нормальными, поскольку они имеют индекс |
|||||||
2. |
Подгруппа |
H4 |
= {±1} нормальна, |
поскольку она является центром группы Q8 . 1.65. |
|||||
G / H @ 4 . 1.66. |
G / H изоморфна |
группе |
движений прямоугольника, |
не являющегося |
|||||
квадратом. |
1.67. |
G / H @ 3 . 1.68. |
G / H @ {±1}. 1.69. |
G / H изоморфна |
группе |
движений |
|||
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
прямоугольника, |
не являющегося квадратом. |
1.70. |
Да. |
1.71. |
Поскольку |
n = 15 = 3×5 , |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Изомоpфизм |
|
можно задать |
|
следующим |
|
|||||||||||||||||
A(3) = {0 |
,5,10}, A(5) = {0,3, 6,9,12} . |
A(3) Å A(5) ® Z15 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
обpазом ( |
|
, |
|
) ® |
|
. 1.72. |
|
@ |
2 Å 3 . |
1.73. |
12 @ |
4 Å |
3 . 1.74. |
|
@ |
4 Å |
3 Å 5 . 1.75. |
|
||||||||||||||||||||||||||
a |
b |
a + b |
6 |
60 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Поскольку |
|
|
|
|
|
360 = 23 ×32 ×5 , |
|
то |
360 |
@ |
8 Å |
9 Å 5 . 1.76. |
Решение. |
|
Поскольку |
|
||||||||||||||||||||||||||||
756 = 22 ×33 ×7, 2250 = 2×32 ×53 , 25725 = 3×52 ×73 , |
|
то |
756 = 4 Å 27 Å |
7 , 2250 = |
2 Å |
9 Å |
125 , |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
25725 |
= |
|
|
3 Å |
|
|
25 Å |
343 . Поэтому 756 |
Å 2250 Å |
25725 @ |
2 Å |
4 Å 3 |
Å 9 Å |
27 Å |
25 Å |
125 Å |
7 Å |
343 . |
|
|||||||||||||||||||||||||
1.77. |
|
Решение. |
|
Поскольку 15 = 3×5, 225 = 9×25 , |
то |
15 Å 225 @ |
3 Å 5 |
Å |
9 Å 25 . |
Далее, |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
75 = 3×25, 45 = 5×9 . |
Поэтому |
75 Å 45 @ 3 Å |
25 Å 5 Å 9 . |
Так как pазложения совпадают с |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
точностью до пеpестановки слагаемых, гpуппы изомоpфны. |
|
|
|
1.78. Решение. |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Находим pазложение каждой гpуппы в пpямую сумму пpимаpных циклических гpупп: |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
9 |
Å 225 |
@ |
|
|
9 Å |
9 Å |
|
25 , 15 Å 135 @ |
3 Å 5 Å |
5 Å 27 . Пpимаpные циклические слагаемые не |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
совпадают. |
Гpуппы |
не |
изомоpфны. |
|
1.79. |
6 |
Å 36 |
@ |
2 Å |
3 Å |
4 Å |
9 . |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
12 |
Å 18 |
@ |
|
4 Å |
3 Å |
|
2 Å 9 . Группы |
изоморфны. |
1.80. |
6 |
Å 36 |
@ |
2 Å |
3 Å |
4 Å |
9 . |
|
|||||||||||||||||||||||||||
9 |
Å 24 |
@ |
|
9 Å |
3 Å |
|
8 . Группы не изоморфны. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
1.81. 6 Å 10 Å |
10 @ |
|
|
2 Å 3 Å 2 Å 5 |
Å 2 Å |
5 . |
60 |
Å 10 @ 4 Å |
3 Å |
5 Å 2 Å 5 . |
|
Группы |
|
не |
|
|||||||||||||||||||||||||||||
изоморфны. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1.82. |
Решение. |
Поскольку |
|
64=26 |
|
и |
|
|||||||||||||||||||
6=1+5=2+4=3+3=1+1+4=1+2+3=2+2+2=1+1+1+3=1+1+2+2=1+1+1+1++2=1+1+1+1+1+1, то s(6) =11 . Поэтому существует 11 неизомоpфных абелевых гpупп поpядка 64. 1.83. 4. 1.84.
4.1.85. 864 = 33 ×25 . Решение. Так как s(3) = 3, s(5) = 7 , то абелевых гpупп поpядка
864 существует 21. 1.86. Решение. Пусть G – циклическая группа с образующим g. Если
x, y Î G, то $n, m Î такие, что x = gn , y = gm . Тогда xy = yx = gn+m . 1.87. Решение. Пусть G – |
||
группа простого порядка p и g Î G, g ¹ e. Тогда o(g) ¹ 1 и |
o(g) | p. Значит, o(g) = p. |
Таким |
образом, элемент g является образующим группы G , и |
G @ p . 1.88. Решение. |
Пусть |
x, y Î G. Тогда xyxy = e. Умножая это равенство справа на yx и учитывая, что x2 = y2 = e, |
||
получим xy = yx. 1.89. Решение. Пусть G – группа порядка 4. Если в ней есть элемент порядка 4, то она изоморфна 4 . Если нет, то порядки ее элементов не превышают 2, следовательно, она абелева, но тогда она изоморфна 2 Å 2 в силу теорем о строении
конечных абелевых групп. 1.90. Решение. В G не может быть элемента порядка 6, так как в противном случае G была бы абелевой. Если бы в G не существовал элемент порядка 3, то порядки элементов были бы не более 2, но тогда G была бы абелевой в силу задачи 3. Следовательно, в G имеется элемент порядка 3. 1.91. Решение. Элементы
e, x, x2 , y разные по условию. Элемент |
xy Ï{e, x, x2 } , |
т.к. |
иначе y Î{e, x, x2 } . Также |
xy ¹ y. |
||||||||||
Значит элемент xy отличен от e, x, x2 , y. |
|
Аналогично, |
x2 y |
отличен от элементов e, x, x2 , y, xy. |
||||||||||
Если бы порядок элемента y равнялся бы 3, то y2 |
равнялся бы одному из элементов |
|||||||||||||
x, x2 , y, xy, x2 y. Но отсюда следовало бы, |
что y Î{e, x, x2 } , а это невозможно. Значит, |
|
o(y) = 2. |
|||||||||||
1.92. Решение. Действительно, yx Î |
{ |
e, x, x2 , y, xy, x2 y |
. Но если yx Î |
{ |
e, x, x2 |
} |
, то y Î |
{ |
e, x, x2 |
} |
, |
|||
|
|
} |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
что является противоречием. Если yx = y, то x = e, |
что невозможно. В случае |
|
|
yx = xy, |
||||||||||
группа C была бы коммутативной. |
|
Остается только одна возможность: yx = x2 y. 1.93. |
||||||||||||
Решение. Полученные в задачах 1.90 – 1.92 соотношения полностью определяют группу
G . Изоморфизм |
F : G ® D3 можно |
задать формулами |
F(x) = j, F(y) = a. Тогда F(e) = e, |
||||||
F(x2 ) = j2 , |
F(xy) = c, |
F(x2 y) = b. 1.94. Решение. Если бы в G был бы элемент 8-го порядка |
|||||||
или порядки всех элементов не превосходили бы 2-х, то G была бы абелевой. Значит, G |
|||||||||
содержит |
элемент |
4-го |
порядка |
x. Обозначим |
H = {e, x, x2 , x3 }. |
Пусть |
y ÎG \ H. Тогда |
||
< x, y >= G, |
поэтому |
элементы |
x и |
y не могут коммутировать, |
т.е. xy ¹ yx. Элементы |
||||
y, xy, x2 y, x3 y – разные |
и |
y, xy, x2 y, x3 y Ï H, |
т.к. |
иначе |
y Î H. |
Следовательно, |
|||
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
G = {e, x, x2 , x3 , y, xy, x2 y, x3 y}. Наконец, |
yx Ï H , yx ¹ y, yx ¹ xy. Если бы yx = x2 y, то |
yx2 = x2 yx = y, |
||||||
откуда следовало бы, что x2 = e, что невозможно. Значит, |
yx = x3 y. 1.95. Решение. |
Пусть |
||||||
y2 |
¹ e. |
Тогда |
o(y) = 4, следовательно, |
o(y2 ) = 2. Поэтому |
y2 ¹ x, y2 ¹ x3 . |
Кроме |
того |
|
y2 |
Ï{y, xy, x2 y, x3 y}, поскольку иначе |
y Î H. Следовательно, |
y2 = x2 . Рассмотрим первый |
|||||
случай |
y2 = e. |
В этом случае группа G |
полностью определена и отображение F : G ® D4 , |
|||||
при котором F(x) = j, F(y) = a, задает изоморфизм групп G @ D4 . Во втором случае |
y2 = x2 |
|||||||
изоморфизм F : G ® Q8 можно задать на образующих так: |
F(x) = i, F(y) = j. 1.96. Решение. |
|||||||
Код C есть множество pешений этой системы линейных одноpодных уpавнений pанга 2 с
пятью неизвестными. Следовательно, код C имеет pазмеpность |
3. Фундаментальную |
||||
|
|
|
|
(10010) |
|
систему pешений можно выбpать из вектоpов |
(01011) Поpождающая матpица кода C , |
||||
|
|
|
|
(00101). |
|
|
æ |
10010ö |
|
|
|
таким обpазом, имеет вид |
ç |
÷ |
.1.97. |
Кодовые слова |
представляют собой |
C = ç |
01011÷ |
||||
|
ç |
÷ |
|
|
|
|
è |
00101ø |
|
|
|
всевозможные линейные комбинации строк порождающей матрицы
0 0 0 0 0
1 0 0 1 0
0 1 0 1 1
0 0 1 0 1
1 1 0 0 1
1 0 1 1 1
0 1 1 1 0
1.98. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 1 1 0 0. |
|
|
|
|
|
|||
Оpтогональным |
|
кодом |
C |
|
будет |
множество |
pешений системы |
уpавнений |
|||||||||||||||
x1 + x4 |
= 0 |
Фундаментальная |
система |
pешений |
|
имеет вид |
(11010) Таким |
обpазом, |
|||||||||||||||
x2 + x4 |
+ x5 |
= 0 |
|
||||||||||||||||||||
x3 + x5 |
= 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(01101). |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
пpовеpочная матpица кода C |
есть |
|
H = |
æ11010ö |
|
Код C |
есть линейный (5,3) -код. 1.99. |
||||||||||||||||
|
ç |
|
÷. |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
è |
01101ø |
|
|
|
|
|
|
|
|
æ |
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0ö |
|
|
æ1 |
0 |
|
0 |
0 |
1 |
0 |
ö |
|
|
|
|
||
|
|
ç |
0 |
1 |
|
0 |
0 |
0 |
1 |
÷ |
|
|
|
|
|||||||||
ç |
1 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
÷ |
. 1.100. G0 = |
|
. 1.101. Решение. а) В матрице есть |
||||||||||||
H0 = ç |
÷ |
ç |
0 |
0 |
|
1 |
0 |
1 |
1 |
÷ |
|||||||||||||
ç |
0 1 1 |
0 0 0 1 |
÷ |
|
|
ç |
|
÷ |
|
|
|
|
|||||||||||
è |
ø |
|
|
ç |
0 |
0 |
|
0 |
1 |
0 |
1 |
÷ |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
è |
|
ø |
|
|
|
|
||||||
два одинаковых столбца. Система из этих двух столбцов линейно зависима, значит, вес d £ 2. С другой стороны в матрице нет ненулевых столбцов. Это означает, что система из одного столбца всегда линейно независима, т.е. d -1 ³ 1. Отсюда d = 2. б). Сумма первого, третьего и пятого столбцов равна нулю, откуда d £ 3. А поскольку в матрице нет одинаковых столбцов, то d -1 ³ 2. Значит, d = 3. 1.102. Код C обнаруживает 8 и исправляет 4 ошибки. 1.103. Pазложение абелевой гpуппы Zn2 по подгpуппе C имеет следующий вид
00000 |
00001 |
00010 |
01000 |
10010 |
10011 |
10000 |
11010 |
01011 |
01010 |
01001 |
00011 |
00101 |
00100 |
00111 |
01101 |
11001 |
11000 |
11011 |
10001 |
10111 |
10110 |
10101 |
11111 |
01110 |
01111 |
01100 |
00110 |
11100 |
11101 |
11110 |
10100 |
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
В первой строке расположены лидеры смежных классов.
1.104. Решение. Слово u = (101) кодиpуется как v = u ×G = (10111) . Пpедположим, что пpи пеpедаче по каналу связи во втоpом pазpяде была допущена ошибка, и на пpиеме получено слово v′ = (11111) . Это слово содеpжится в четвеpтом смежном классе, поэтому пpи декодиpовании к нему пpибавляется лидеp этого смежного класса: (01000) . В pезультате мы получаем слово v′′ = (10111) , котоpое после отсечения последних двух pазpядов будет pавно u′ = (101) . Таким обpазом, ошибка испpавлена. Для того, чтобы испpавить одну ошибку можно действовать и по дpугому. Если умножить пpовеpочную матpицу H на вектоp v′ , то получится слово (11) . Оно называется синдpомом и pавно тому столбцу пpовеpочной матpицы, в котоpом допущена ошибка. В данном случае слово (11) совпадает со втоpым столбцом матpицы
H , поэтому в слове v′ нужно испpавить втоpой pазpяд.
Заметим, что если бы ошибка пpоизошла в пеpвом или тpетьем pазpядах, то слово было бы декодиpовано непpавильно. Это свидетельствует о том, что данный код еще очень мало эффективен в плане испpавления ошибок.
|
æ0 |
1 |
1 |
0 |
0ö |
|
|
|
||||
1.105. |
ç |
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
÷ |
|
Вес кода равен 2. Код обнаруживает одну ошибку, но не |
|||
H = ç |
÷. |
|
||||||||||
|
ç |
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
÷ |
|
|
|
||
|
è |
ø |
|
|
|
|||||||
исправляет ни одной. |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
æ0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
ö |
|
|
|
|||
1.106. |
ç |
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
÷ |
Вес кода равен 3. |
Код обнаруживает две и исправляет одну |
|||
H = ç |
÷. |
|||||||||||
|
ç |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
÷ |
|
|
|
||
|
è |
ø |
|
|
|
|||||||
ошибку. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
æ1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
ö |
|
|
|
|||
1.107. |
ç |
1 |
1 |
0 |
1 |
0 |
÷ |
Вес кода равен 3. |
Код обнаруживает две и исправляет одну |
|||
H = ç |
÷. |
|||||||||||
|
ç |
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
÷ |
|
|
|
||
|
è |
ø |
|
|
|
|||||||
ошибку. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
æ0 |
1 |
1 |
1 |
0 |
|
0ö |
|
|
|||
1.108. |
ç |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
|
0 |
÷ |
. Вес кода равен 3. Код обнаруживает две и исправляет одну |
||
H = ç |
|
÷ |
||||||||||
|
ç |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
|
1 |
÷ |
|
|
|
|
è |
|
ø |
|
|
|||||||
ошибку.
1.109. Решение. Расстояние между любыми несовпадающими точками пространства n2 не меньше 1, а число точек в n2 равно 2n , поэтому A(n,1) = 2n. Пусть M (n, s) – максимальное множество точек в n2 , расстояние между любыми двумя из которых не меньше, чем s.
Можно считать, что 00K0Î M (n, s), т.к. иначе все точки из M (n, s) можно сдвинуть на один
123
n
и тот же вектор. Существует только одно слово, расстояние от которого до точки 00K0 равно n, это 11K1. Поэтому A(n, n) = 2. 1.110. Решение. Можно считать, что (000)Î M (3, 2).
Множество точек |
M (3, 2) = {(000), (011), (101), (110)} |
в n2 будет максимальным множеством |
||||||||
точек, расстояние между любыми двумя из которых не меньше 2. Поэтому A(3, 2) = 4. |
||||||||||
æ1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
ö |
|
|
|
ç |
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
÷ |
. 1.112. а) Ошибка |
|
1.111. G = ç |
÷ |
в 6-м разряде. Исправленное слово |
||||||||
ç |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
1 |
0 |
÷ |
|
|
ç |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
÷ |
|
|
è |
ø |
|
|
|||||||
u% = (1110000) ; б) Ошибка в 5-м разряде. Исправленное слово u% = (1101010) ; в) Ошибка в 1-м разряде. Исправленное слово u% = (0111100).
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
æ0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1ö |
||
ç |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
÷ |
1.113. H = ç |
÷. |
|||||||||||||||
ç |
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
÷ |
ç |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
÷ |
è |
ø |
|||||||||||||||
1.114. а) Ошибка в 10-м разряде. Исправленное слово u% = (000111000011000). б) Ошибка в 5- м разряде. Исправленное слово u% = (100110100100100). в) Ошибка в 8-м разряде. Исправленное слово u% = (000000011111111).
2.Теория булевых функций
2.1.а) (1,1, 0, 0) , (0,0, 0, 0) , (0,1,1, 0) , (0,1, 0,1) ; б) n ; в) n × 2n−1 .
|
|
|
(0,0,1,1) , (0,1, 0,1) ; б) Cnk ; в) Cnk ×2n−1 . 2.3. |
n |
|
2.2. а) (1,0,1, 0) , |
(1,1, 0, 0) , (1,1,1,1) , (0,0, 0, 0) , |
22 , если n - четное |
|||
n+1 |
|
|
|
(1111) ; б) 22n−1 |
|
число и 2 2 , если n - нечетное число. 2.2. а) 19; б) 50; в) 31; г) 77. 2.5. а) (0000) , (0110) , (1001) , |
. 2.6. а) |
||||
(0000) , (0001) , |
(1000) , (1001) ; |
б) 22n −Cnk |
. Указани е к б). Вес k имеют Cnk булевых векторов от n переменных. |
||
Следовательно, Cnk |
определенных координат функции равны 1, а остальные (2n - Cnk ) координаты могут принимать любые |
||||
значения (0 или 1). 2.7. Ука зание . Пусть |
f (0, 0,..., 0) = 0 . Тогда на всех наборах веса 1 значение функции также будет равно |
||||
0. Для каждого набора веса 2 найдется соседний с ним набор веса 1, следовательно, на всех наборах веса 2 значение функции также равно 0. Для каждого набора веса 3 найдется соседний с ним набор веса 2, следовательно, на всех наборах веса 3 значение функции
также равно 0. И так далее вплоть до векторов веса n . Случай f (0, 0,...,0) = 1 рассматривается аналогично. 2.8. а) x1 -
существенная, x2 - фиктивная; б) x1 - фиктивная; |
x2 , x3 |
|
- существенные; в) x3 |
- фиктивная; x1 , x2 - существенные; г) x1 , |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
x3 - фиктивные; x2 , x4 - существенные. 2.9.а) (11101010) ; б) (10) ; |
в) (1001) ; г) |
(01) . 2.10. а) (1111) ; б) (0100 0111) ; |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
в) (11111101) ; г) |
(1110 1110 1110 0001) . 2.11. в), г) является; а), б), д), е) не является. 2.12. а) (10011111) ; б) |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
(0010 0000 0010 0010) . 2.13. а) xy (x Ú y) ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
б) (x Ú y Ú xyz) ® ( |
|
|
® z). 2.12. а) (((x Ù y)Ú (x Ù (Ø(y Ù z))))Ú z); б) |
(((x Ú z)Ù y) ® (x Ù y)). 2.19. а) |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
xy |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
{ |
} |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
{ |
|
} |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
коммутативна только |
|
|
« ; |
|
б) ассоциативна только |
|
« . 2.20. а) |
xyz ; б) x y ; в) xy × xy ; г) xyz . 2.21. а) x Ú y Ú z ; |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
б) |
|
Ú |
|
Ú |
|
Ú |
|
; |
в) |
|
Ú y Ú |
|
Ú x ; |
|
г) |
|
Ú y Ú |
|
Ú x . 2.23. а) |
|
Ú x ; б) 1; |
|
|
xy ; |
г) |
|
Ú |
|
; |
|
|
x Ú |
|
; е) |
|
|
|
. 2.22. |
|||||||||||||||||||||||||||
x |
y |
y |
z |
x |
y |
|
x |
y |
z |
в) |
x |
y |
д) |
z |
x |
y |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
а) x1 , x2 , x4 , x5 |
- фиктивные; |
x3 , x6 |
- существенная; б) |
x2 - существенная, x1 , |
|
x3 |
- фиктивные. 2.25. а) (0000), (0101) , |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
(1010), (1111) ; |
б) |
22n−1 |
. Ука зани е к б). Если |
xn - фиктивная переменная, то для любого набора a1 , a2 ..., an−1 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
выполняется равенство |
|
f (a1 , a2 ..., an−1 , 0) = f |
(a1 , a2 ..., an−1 ,1) , следовательно, чтобы задать функцию f необходимо и |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
достаточно определить ее значения на 2 |
n−1 |
булевом векторе; в) n×2 |
2n−1 |
. 2.26. а) 36; |
б) 49; |
в) 3 |
n |
; г) |
2 |
2n |
|
n |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
- 3 . Указани е к |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
г). Можно от числа всех наборов длины 2n отнять число наборов, на которых функция обращается в единицу.
2.27. (0)* = 1, (1)* = 0 ; (x)* = x ; (x)* = x ; (x Ú y)* = x Ù y ; (x Ù y)* = x Ú y ; (x ¯ y)* = x y ; (x y)* = x ¯ y ;
(x « y)* = x Å y ; (x Å y)* = x « y . 2.28. а) (s4 , s3 , s2 , s1 ). 2.29. а) (0010);
б) (1001 0010) ; в) (1101 0100) ; г) (1011 0100 0011 0000) .
2.30.а) (0000 0010); б) (0011 0100) .
2.31.а) (x Ú y Ú z)Ù (x Ú y Ú z)Ù z Ù1; б) ((x « y)Ú y Ú z)Ù1 .
2.32. а) x Ù ( y Ú z) = (x Ù y)Ú (x Ù z); б) (x « y) « z = x « (y « z) ; в) (x « y)Ú z = (x Ú z) « (y Ú z) ; г) xy = x « y « (x Ú y) .
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
2.33. а) xy Ú x × y Ú z ; б) x (y Ú z)×1Ú z Ú y ; в) (xy Ú x Ú y)× xyz × x Ú y ; г) (x1 « x2 )Å (x2 ¯ x3 ); д)
(x Ú y Ú y Ú x ×(y Ú z Ú x (y Ú z)))×1 ; е) (x1 Å x3 ) (x2 ¯1) . 2.32. Пусть для определенности речь идет о переменной x1 .
Тогда существует такой набор a2 ..., an |
значений переменных (x2 ,..., xn ), что |
f (0, a2 ..., an ) ¹ f (1, a2 ..., an ), т.е. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
f (0, a2 ..., an ) = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. Согласно определению двойственной функции верны равенства |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
f |
(1, a2 |
..., an ) |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
f * ( |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f * (1, |
|
|
|
..., |
|
|
|
|
|
) = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, которые можно переписать в виде |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f |
(1, a2 ..., an ) |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
0, a2 ..., an )= f (0, a2 ..., an ) и |
a2 |
an |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(0, a2 ..., an ) и |
f * (0, |
|
|
|
|
|
|
|
|
) = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
f * (1, |
|
|
..., |
|
|
) |
= f |
..., |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
a2 |
an |
|
a2 |
an |
f |
(1, a2 ..., an ) |
Следовательно, равенство |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
f (0, a2 ..., an ) = |
|
|
|
|
|
|
|
|
можно также записать в виде |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= f * (0, |
|
..., |
|
). Таким образом, |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f * (1, |
|
|
|
..., |
|
) |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
f |
(1, a2 |
..., an ) |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
a2 |
an |
a2 |
an |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
..., |
|
|
|
|
f * (0, |
|
..., |
|
|
) ¹ f * (1, |
|
..., |
|
|
) . Это означает, что f * (x1 , x2 ,..., xn ) |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
существует набор |
a2 |
an |
|
такой, что |
a2 |
an |
a2 |
an |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
существенно зависит от переменной x1 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
2.35. а) x1 Ú x2 = |
|
x2 Ú x1 |
|
Ú x1 x2 ; б) x1 |
|
x2 = |
|
|
|
Ú |
|
|
x2 Ú x1 |
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
x1 |
x2 |
x1 |
x2 |
x1 |
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
в) x1 ¯ x2 = x1 x2 ; г) x1 Å x2 = x1 x2 Ú x1 x2 ;
д) x1 x2 x3 Ú x1 x2 x3 Ú x1 x2 x3 Ú x1 x2 x3 ; е) x1 x2 x3 Ú x1 x2 x3 Ú x1 x2 x3 Ú x1 x2 x3 Ú x1 x2 x3 . 2.36. а) (x1 Ú x2 )(x1 Ú x2 )(x1 Ú x2 ) ; б) x1 Ú x2 ;
в) (x1 Ú x2 )(x1 Ú x2 )(x1 Ú x2 ) ; г) (x1 Ú x2 )(x1 Ú x2 );
д) (x1 Ú x2 Ú x3 )(x1 Ú x2 Ú x3 )(x1 Ú x2 Ú x3 )(x1 Ú x2 Ú x3 ); е) (x1 Ú x2 Ú x3 )(x1 Ú x2 Ú x3 )(x1 Ú x2 Ú x3 ).
2.37. а) СДНФ: x1 x2 x3 Ú x1 x2 x3 Ú x1 x2 x3 Ú x1 x2 x3 Ú x1 x2 x3 ; СКНФ: (x1 Ú x2 Ú x3 )(x1 Ú x2 Ú x3 )(x1 Ú x2 Ú x3 );
б) СДНФ: x1 x2 x3 Ú x1 x2 x3 Ú x1 x2 x3 Ú x1 x2 x3 Ú x1 x2 x3 ; СКНФ: (x1 Ú x2 Ú x3 )(x1 Ú x2 Ú x3 )(x1 Ú x2 Ú x3 );
в) СДНФ: x1 x2 x3 Ú x1 x2 x3 Ú x1 x2 x3 Ú x1 x2 x3 Ú x1 x2 x3 ; СКНФ: (x1 Ú x2 Ú x3 )(x1 Ú x2 Ú x3 )(x1 Ú x2 Ú x3 );
г) СДНФ: |
x1 |
|
x2 |
Ú |
|
x1 |
x2 Ú x1 x2 ; СКНФ: |
x1 |
|
Ú x2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2.38. а)1, |
|
|
, |
|
|
, x , x , |
|
|
x x , x |
|
|
|
, |
|
|
x , |
|
|
|
|
|
|
|
; б) 3n . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
x |
|
x |
x |
x |
x |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1 |
|
|
2 |
|
|
1 |
|
2 |
|
1 |
|
2 |
|
|
1 |
|
|
2 |
|
|
|
1 |
|
2 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
Указани е к б). Каждая переменная может не входить в элементарную конъюнкцию, входить с отрицанием, входить без |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
отрицания. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
2.39. а) x1 x2 , x1 |
|
|
, |
|
|
|
|
x2 , |
|
|
|
|
|
|
|
, x1 x3 , x1 |
|
|
|
, |
|
|
|
|
x3 , |
|
|
|
|
|
, x2 x3 , x2 |
|
, |
|
x3 , |
|
|
|
; |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
x2 |
|
x1 |
x1 |
|
x2 |
x3 |
x1 |
x1 |
x3 |
x3 |
x2 |
x2 |
x3 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
б) Ck ×2k . 2.40. а) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, x |
|
|
|
|
|
|
, x |
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
; б) Cr . Указани е . Искомое число элементарных конъюнкций равно |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
x |
x |
x |
x |
x |
x |
x |
, |
|
x |
x |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
3 |
4 |
|
1 |
3 |
4 |
|
|
|
1 |
2 |
4 |
|
|
1 |
|
2 |
3 |
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
числу подмножеств мощности r |
|
множества {x1α1 , x2α2 |
,..., xnαn }. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2.41. а) 1, |
|
, x , |
|
, x |
|
|
, |
|
|
|
, |
|
x , |
|
x |
|
|
б) 2n . Указани е к б). Число элементарных конъюнкций равно числу |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
x |
x |
|
x |
x |
x |
x |
x |
x |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1 |
|
2 |
|
|
|
3 |
2 |
3 |
|
|
1 |
|
|
3 |
|
|
1 |
|
|
2 |
|
|
|
|
1 |
|
|
2 |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
подмножеств множества {x1α1 , x2α2 |
,..., xnαn }. 2.42. а) 64; |
б) 22n −2n−r |
. Ука зани е к а). x1 x2 является импликантой для тех и |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
только тех функций, которые на наборах (1,1, 0) |
и (1,1,1) равны 1. На остальных шести наборах функций может принимать |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
любые значения, следовательно, число таких функций равно 26 = 64 . 2.43. а) x, y ; б) x, y ; в) xy, xyz ; г) x, yz .
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
2.42. а) например, x1 |
x2 |
x3 ; б) например, |
x2 |
|
x3 |
|
Ú x1 |
x2 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
2.45. а) |
|
|
|
|
Ú |
|
|
x3 Ú x2 x3 Ú x1 x2 - сокращенная, |
|
|
|
|
Ú x2 x3 Ú x1 x2 , |
|
|
|
|
Ú |
|
x3 Ú x1 x2 - тупиковые, они же минимальные |
||||||||||||||||||||||||||
x1 |
x2 |
x1 |
x1 |
x2 |
x1 |
x2 |
x1 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ДНФ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
б) |
|
|
|
Ú x1 |
|
Ú |
|
|
|
Ú x1 x2 - сокращенная, |
|
|
|
|
Ú x1 |
|
Ú x1 x2 , |
|
|
|
Ú |
|
|
|
|
Ú x1 x2 - тупиковые, они же минимальные |
||||||||||||||||||||
x1 |
x2 |
x3 |
x2 |
x3 |
x1 |
x2 |
x3 |
x1 |
x2 |
x2 |
|
x3 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
ДНФ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
в) x2 x3 x4 Ú x2 x3 x4 Ú x1 x2 x3 Ú x1 x4 - сокращенная ДНФ,
x2 x3 x4 Ú x2 x3 x4 Ú x1 x4 - тупиковая, она же минимальная;
г) x2 x3 x4 Ú x1 x3 x4 Ú x1 x2 x4 Ú x1 x2 - сокращенная ДНФ,
x2 |
|
x3 |
|
|
x4 |
Ú |
|
|
x1 |
|
|
x2 |
|
x4 |
Ú x1 x2 , x1 |
x3 |
|
x4 |
Ú |
x1 |
|
x2 |
|
x4 |
Ú x1 x2 - тупиковые, они же минимальные ДНФ; д) |
|||||||||||||
|
|
|
Ú |
|
|
|
Ú x1 |
|
Ú x3 |
|
Ú |
|
x3 Ú x2 x3 - |
сокращенная ДНФ; |
|
|
|
Ú x1 |
|
Ú x2 x3 - тупиковая и минимальная ДНФ; |
||||||||||||||||||
x2 |
x4 |
x1 |
x2 |
x4 |
x4 |
x1 |
x1 |
x2 |
x4 |
|||||||||||||||||||||||||||||
е) x3 x4 Ú x1 x2 Ú x2 x3 x4 Ú x1 x3 x4 - сокращенная ДНФ; x3 x4 Ú x1 x2 Ú x1 x3 x4 - тупиковая и минимальная ДНФ.
2.46. а)1Å x2 Å x1 Å x1 x2 ; б) x2 Å x1 x2 ; в)1Å x2 Å x1 x2 x3 ; г)1Å x3 Å x2 Å x2 x3 Å x1 x3 . 2.47. а) x Å xy Å xyz ; б) xyz Å1.
2.48. а) x Å xy ; б) x1 Å x2 Å x3 Å x1 x2 Å x2 x3 ; в) x1 x2 Å x1 x2 x4 Å x1 x2 x3 x4 ; г)1Å x1 x2 x4 .
2.49. а) f = yt Å zx Å xyzt ; б) f = 1Å x Å t Å xy Å xt Å zt Å xzt . |
|
2.51. а) 22n −1 ; б) 22n −1 ; в) 22n −2 ; г) 3×22n −2 . 2.52. а) Выписать векторы значений всех самодвойственных функций двух |
|
переменных. |
|
б) Сколько имеется самодвойственных функций от n переменных? |
|
2.52. а) (0011) , (0101) , (1010) , (1100) ; б) 22n−1 |
. 2.53. а) 22n−1 −1 ; б) 22n−1 −1 ; в) 22n −1 + 22n−1 −1 ; г) 3×22n −2 + 22n−1 −1 . |
2.52. Указани е . Если f - самодвойственная функция, то на любых двух противоположных наборах значений переменных она принимает противоположные значения. Следовательно, число наборов, на которых f принимает значение 1, равно числу пар
противоположных наборов длины n, т.е. 2n−1 . 2.56. а) (0,0, 0, 0) , (0,0, 0,1) , |
(0,0,1,1) , |
(1,0, 0,1) , (1,0,1, 0) , (1, 0,1,1) ; |
б) 2k 2.57. а) (0,1, 0,1,1,1) , (0,1,1,1,1,1) , (1,1, 0,1,1,1) , (1,1,1,1,1,1) ; б) |
2n−k . 2.59. |
0,1, x, xy, x Ú y . 2.60. Указани е. |
Пусть монотонная функция не сохраняет 0. Поскольку нулевой набор предшествует остальным, монотонная функция на остальных наборах не может быть меньше, чем на нулевом наборе. Значит, из равенства монотонной функции единице на нулевом наборе следует ее тождественное равенство единице. Аналогично рассматривается случай монотонной функции, не сохраняющей
единицу. 2.61. а) немонотонна; б) монотонна; в) немонотонна; г) немонотонна. 2.62. Решени е . Если |
f (x1 ,..., xn ) |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
% |
% |
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
, b0 (необязательно соседние) из B , что |
||||||||
немонотонная функция, то согласно определению найдутся два такие вектора a0 |
||||||||||||||
% |
% |
% |
% |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
£ b0 , но |
) > f (b0 ) . Пусть эти наборы различаются в k |
1 £ k £ n координатах. Тогда, меняя по одной координате, |
||||||||||||
a0 |
f (a0 |
|||||||||||||
|
|
|
% |
|
% |
|
% |
% |
% |
% |
|
|||
|
|
|
|
таких, что |
£ b0 и каждый |
|||||||||
можно выстроить последовательность из k -1 наборов a1 ,..., ak −1 |
a0 |
£ a1 |
£ ... £ ak −1 |
|||||||||||
следующий набор отличается от предыдущего ровно в одной координате. Так как |
|
% |
% |
|
|
|||||||||
f (a0 ) > f (b0 ) , то в этой |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
% |
% |
% |
|
% |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(b). Это и есть искомые наборы. 2.63. а) 6; |
||||||||
последовательности найдутся два соседних набора такие, что a £ b , но f (a) > f |
||||||||||||||
б) 20. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
2.65. а) немонотонная; б) монотонная; в) немонотонная; г) немонотонная. 2.66. а) (0000 |
0000 1111 1111) ; б) |
|
||||||||||||
(0000 0111 0001 1111) , (0000 1111 0000 1111) , (0001 0111 0001 |
0111) , |
|
|
|
||||||||||
(0001 1111 0000 0111) , (0000 0000 1111 1111) , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
(0000 0001 0111 1111) , (0001 0001 0111 0111) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
2.68. Указани е . Рассмотреть два случая: f (1,1,...,1) = 0 и |
f (1,1,...,1) = 1 .2.70. 0,1, x, |
|
, x Å y, x « y . 2.71. а) 2n+1 ; б) |
|||||||||||
x |
||||||||||||||
2n ; |
в) 2n ; |
г) 2n−1 ; д) 2n−1 ; е) n + 2 . Решени е е). Пусть свободный член полинома Жегалкина равен 1. Поскольку в явном |
||||||||||||
виде (т.е. с ненулевыми коэффициентами) присутствуют только существенные переменные см. 2.50), то из сопоставления значений
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
функции на нулевом наборе и наборе, содержащем ровно одну единицу на месте, соответствующем существенной переменной, следует немонотонность функции. Следовательно, если свободный член равен 1, то функция тождественно равна единице. Пусть теперь свободный член полинома Жегалкина равен 0 и линейная функция имеет, по крайней мере, два существенных аргумента. Тогда на наборе, содержащем ровно две единицы на местах, соответствующих этим существенным аргументам, значение функции равно 0, а на предшествующем ему наборе, содержащим ровно одну единицу на месте, соответствующем одному из этих аргументов, равно 1. Следовательно, функция немонотонна. Остаются два случая. В первом свободный член полинома Жегалкина равен 0 и линейная функция не имеет существенных аргументов, т.е. речь идет о тождественном нуле. Во втором случае, свободный член полинома Жегалкина равен 0 и линейная функция имеет один существенный аргумент, т.е. речь идет о функции
x ,1 £ i £ n . 2.72. а) 2n−1 ; б) 3× 2n−1 . 2.72. |
2×Ck . 2.75. |
2n−1 |
. Указани е. Если |
f (x ,..., x |
n |
) линейна, то ее полином |
||||||||||||||||||||||||||
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|||
Жегалкина можно записать в виде |
f = a0 Å a1 x1 Å a2 x2 Å...Å an xn . Так как f |
отлична от константы, то среди |
||||||||||||||||||||||||||||||
коэффициентов a1 , a2 ,..., an |
есть равные единице. Обозначим через k число таких коэффициентов. Пусть для определенности |
|||||||||||||||||||||||||||||||
это a1 , a2 ,..., ak (1 £ k £ n ). Рассмотрим два случая: |
|
a0 |
= 0 |
и a0 |
= 1 . В первом случае |
f (x1 ,..., xn ) реализуется формулой |
||||||||||||||||||||||||||
x1 Å x2 Å...Å xk |
и, значит, обращается в единицу на векторах (b1 ,...,bk , bk +1 ,...,bn ) , у которых некоторое нечетное число |
|||||||||||||||||||||||||||||||
координат b1 ,...,bk |
равны 1, остальные координаты b1 ,...,bk |
равны 0, координаты же bk +1 ,...,bn могут принимать любые |
||||||||||||||||||||||||||||||
значения (0 или 1). Каждый набор b1 ,...,bk |
однозначно задается набором номеров единичных координат, поэтому таких наборов |
|||||||||||||||||||||||||||||||
столько же, сколько подмножеств нечетной мощности у множества из k элементов, т.е. 2k −1 . Таким образом, первые k |
||||||||||||||||||||||||||||||||
координат вектора (b ,...,b |
k |
, b |
+1 |
,...,b |
n |
) |
можно выбрать 2k −1 способами, а оставшиеся n - k координат 2n−k способами. |
|||||||||||||||||||||||||
|
1 |
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Следовательно, число таких векторов равно |
|
2k −1 ×2n−k |
|
= 2n−1 . Аналогично рассматривается случай a = 1 . 2.77. |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Классы функций |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
Функции |
|
|
T0 |
T1 |
S |
M |
|
L |
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
0 |
|
|
|
+ |
– |
– |
+ |
|
|
+ |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
x |
|
|
+ |
+ |
+ |
+ |
|
|
+ |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
– |
– |
+ |
– |
|
+ |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
1 |
|
|
|
– |
+ |
– |
+ |
|
|
+ |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
x y |
|
|
+ |
+ |
– |
+ |
|
|
– |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
x y |
|
|
+ |
+ |
– |
+ |
|
|
– |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
7 |
|
|
|
x → y |
|
|
– |
+ |
– |
– |
|
– |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
8 |
|
|
|
x ↔ y |
|
|
– |
+ |
– |
– |
|
+ |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
9 |
|
|
|
x |
|
y |
|
|
– |
– |
– |
– |
|
– |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
10 |
|
|
|
x ¯ y |
|
|
– |
– |
– |
– |
|
– |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
11 |
|
|
|
x Å y |
|
|
+ |
– |
– |
– |
|
+ |
|
|
|
|||||||||||
2.78. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Классы функций |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
Функции |
|
T0 |
|
T1 |
|
S |
|
M |
|
L |
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f1 |
|
+ |
|
|
+ |
|
– |
|
– |
|
– |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f2 |
|
+ |
|
|
– |
|
– |
|
– |
|
– |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f3 |
|
+ |
|
|
+ |
|
– |
|
– |
|
– |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f4 |
|
+ |
|
|
– |
|
– |
|
– |
|
– |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f5 |
|
+ |
|
|
+ |
|
– |
|
– |
|
– |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f6 |
|
|
– |
|
|
+ |
|
– |
|
– |
|
– |
|
|
|
|
||||||
2.80. а) 1; б) 0; |
в) |
x, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
; |
г |
) 1, x, |
|
. 2.81. а), в), г), д), е), ж), з). |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
x |
x |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com