Тема 11

Граф обладает укладкой в пространстве, если в трехмерном евклидовом пространстве можно построить такую диаграмму графа, в которой ребра не имеют общих точек, отличных от концевых. Сама диаграмма, обладающая указанным свойством, называется при этом укладкой графа в пространстве

Утверждение. Любой граф обладает укладкой в пространстве.

Граф, обладающий укладкой на плоскости, называют планарным. Любую укладку планарного графа на плоскости называют плоским графом.

Совокупность ребер каждого простого цикла плоского графа может рассматриваться как граница некоторой области на плоскости. Те из этих областей, которые не содержат внутри себя ребер других простых циклов данного плоского графа, называют гранями плоского графа. Одна из граней любого плоского графа не ограничена, ее называют внешней гранью, остальные грани называют внутренними гранями.

Пусть 𝐺 = (𝑉, 𝐸) - связный плоский граф, 𝑆 - множество его граней. Тогда |𝑆| = |𝐸| − |𝑉|+2 (формула Эйлера).

Док-во: пусть граф планарный

Каждая грань граничит не менее чем с 4 ребрами => 4|S| ≤ 2|E|

По формуле Эйлера: S = 9 – 6 + 2 = 5 =>

4*5 ≤ 2*9

20 ≤ 18 – противоречие => граф непланарен

Граф, обладающий укладкой на плоскости, называют планарным.

1) Полный граф с 4 вершинами 2) Полный граф с 5 вершинами

Пусть 𝐺 = (𝑉, 𝐸) - связный плоский граф, 𝑆 - множество его граней. Тогда |𝑆| = |𝐸| − |𝑉|+2 (формула Эйлера).

Тема 12

Опр. Эйлеров цикл - это цикл на графе, содержащий все вершины и все ребра графа, а граф, на котором имеется эйлеровый цикл, - эйлеровым графом.

Цепь на графе (как замкнутая, так и незамкнутая), содержащая все вершины и все ребра графа, называют эйлеровой цепью (замкнутая эйлерова цепь есть не что иное, как эйлеров цикл).

Следующие два утверждения являются критериями существования эйлерова цикла и эйлеровой цепи на связном графе:

1) связный граф содержит эйлеров цикл тогда и только тогда, когда каждая его вершина имеет четную степень;

2) связный граф содержит эйлерову цепь тогда и только тогда, когда он имеет не более двух вершин нечетной степени.

Опр. Эйлеров цикл - это цикл на графе, содержащий все вершины и все ребра графа, а граф, на котором имеется эйлеровый цикл, - эйлеровым графом.

Опр. Гамильтоновой цепью графа называется такая его простая цепь, которая проходит через каждую вершину ровно один раз. Замкнутая гамильтонова цепь называется гамильтоновым циклом. Граф называется гамильтоновым, если он обладает гамильтоновым циклом.

Гамильтонов цикл не обязан проходить по всем ребрам графа.

Примеры:

А) K_3,3

Б )

Пусть 𝐺 = (𝑉, 𝐸) - произвольный граф и {𝑐₁, 𝑐₂,..., 𝑐_k} - некоторое множество, элементы которого будем называть к

Опр. Раскраской графа 𝐺 в 𝑘 цветов называется отображение 𝑝: 𝑉 → {𝑐₁, 𝑐₂,..., 𝑐_k} такое, что для любых двух смежных вершин 𝑎 и 𝑏 выполняется условие 𝑝(𝑎) ≠ 𝑝(𝑏).

Если раскраска графа задана, то говорят, что вершина 𝑎 имеет цвет 𝑝(𝑎).

Отметим, что здесь не предполагается, что 𝑝 отображает 𝑉 на все множество красок {𝑐₁, 𝑐₂,..., 𝑐_k} (т.е. какие-то краски могут оказаться неиспользованными).

Граф называется 𝑘 -раскрашиваемым, если он может быть раскрашен в 𝑘 цветов. Если при этом его нельзя раскрасить в 𝑘 − 1 цвет, то он называется 𝑘 -хроматическим. Число 𝑘 в таком случае называют хроматическим числом графа и обозначают 𝜒(𝐺).

Ответ: в 3-5 цветов

𝜒(𝐺)=3