Цикломатическое число графа.

Число 𝑣(𝐺) = |𝐸| − |𝑉| + 𝑘(𝐺) называется цикломатическим числом графа 𝐺 = (𝑉, 𝐸).

Цикломатическое число обладает следующими свойствами:

1) цикломатическое число любого графа неотрицательно, т.е. 𝑣(𝐺) ≥ 0 (теорема о знаке цикломатического числа);

2) цикломатическое число любого графа равно сумме цикломатических чисел его компонент связности, т.е. если 𝐺₁, 𝐺₂, …, 𝐺_k - все компоненты связности графа 𝐺, то 𝑣(𝐺) = ∑^k_i=1 𝑣(𝐺_i).

Тема 10

Опр. Граф называется деревом, если он связный и в нем нет циклов.

Одноэлементный граф, т.е. граф, имеющий одну вершину и не имеющий ребер, также считается деревом.

Ответ: 3 варианта

Деревья обладают рядом характеристических свойств, по наличию или отсутствию каждого их которых в рассматриваемом графе 𝐺 = (𝑉, 𝐸) можно определить, является граф деревом или нет. Перечислим эти свойства:

1) граф 𝐺 - дерево в том и только в том случае, когда в нем нет циклов и |𝐸| = |𝑉| − 1;

2) граф 𝐺 - дерево в том и только в том случае, когда он связный и |𝐸| = |𝑉| − 1;

3) граф 𝐺 - дерево в том и только в том случае, когда он связный, и каждое его ребро является мостом;

4) граф 𝐺 - дерево в том и только в том случае, когда любые две вершины графа 𝐺 можно соединить простой цепью, притом единственной;

5) граф 𝐺 - дерево в том и только в том случае, когда в нем нет циклов и добавление к нему нового ребра приводит к образованию единственного простого цикла.

Граф называется лесом (или ациклическим графом), если в нем нет циклов. Очевидно, что каждая компонента связности леса - дерево.

Одно из характеристических свойств леса: граф 𝐺 = (𝑉, 𝐸), имеющий 𝑘 компонент связности, является лесом в том и только в том случае, когда |𝐸| = |𝑉| − 𝑘.

Подграф , графа 𝐺 называется остовным подграфом, если множество его вершин совпадает с множеством вершин графа 𝐺.

Остовом обыкновенного графа называется его остовный подграф, являющийся деревом.

Пусть 𝐺 - обыкновенный связный граф. Упорядочим множество его вершин 𝑉 = {𝑣₁, 𝑣₂,..., 𝑣_n}. Определим матрицу Кирхгофа 𝐾(𝐺) графа 𝐺, положив:

где 𝐴(𝐺) - матрица смежности графа, соответствующая данному упорядочению вершин.

Справедливы следующие утверждения:

1) алгебраические дополнения всех элементов матрицы Кирхгофа графа равны между собой;

2) число остовов в связном неодноэлементном обыкновенном графе равно алгебраическому дополнению любого элемента его матрицы Кирхгофа.

Выделим в дереве какую-нибудь одну вершину, которую назовем корнем. Полученное дерево с выделенной вершиной называется корневым.

Опр. Бинарным кодом корневого дерева с одним ребром является последовательность (01). Пусть деревья 𝑇₁ и 𝑇₂ с корнями a и b соответственно (рис. 3.40) имеют коды и . Тогда кодом дерева 𝑇₃ с корнем с является код (0 1), а кодом дерева 𝑇₄ с корнем 𝑐 = 𝑎 = 𝑏 - код ( ).

Чтобы построить корневое дерево по коду из нулей и единиц, нужно разбить последовательность на пары 0 и 1, следуя правилу: первая попавшаяся в коде единица образует пару с предшествующим нулем; каждая следующая единица образует пару с ближайшим слева неиспользованным нулем. Если образованные таким образом пары пометить снизу кода фигурными скобками, то каждая такая скобка будет соответствовать ребру графа.

Для того чтобы последовательность нулей и единиц являлась кодом некоторого дерева, необходимо и достаточно, чтобы число нулей и единиц в последовательности было одинаковым, причем в любом начальном отрезке последовательности количество нулей было не меньше количества единиц.