Алгоритм построения фундаментальной системы циклов.
1-й шаг. Находим в графе 𝐺 какой-либо обобщенный цикл 𝐶1 и удаляем из него ребро 𝑒ଵ («разрываем» цикл). Получаем граф 𝐺ଵ.
𝑘 -й шаг. В графе 𝐺k-1, построенном на (𝑘 − 1)-м шаге, находим какой-либо обобщенный цикл 𝐶k и удаляем из него произвольное ребро 𝑒k. Получаем граф 𝐺k.
Если в графе 𝐺k циклов нет, то 𝐶1, 𝐶2, . . . , 𝐶k - искомая фундаментальная система циклов. Если в графе 𝐺k обобщенные циклы остались, то повторяем 𝑘 -й шаг.
На множестве вершин графа 𝐺 введем бинарное отношение - отношение достижимости (связности) (~), образованное всеми теми парами вершин (𝑎, 𝑏), для которых на графе есть путь из 𝑎 в 𝑏. Таким образом, запись 𝑎 ∼ 𝑏 будет означать, что на графе 𝐺 есть путь из 𝑎 в 𝑏.
Поскольку мы договорились считать каждую вершину графа 𝑎 путем длины 0 из 𝑎 в 𝑎, то для любой вершины 𝑎 можно утверждать, что 𝑎 ∼ 𝑎. Это означает, что отношение достижимости рефлексивно.
Очевидно, что если на графе 𝐺 есть путь из вершины 𝑎 в вершину 𝑏, то есть и путь из 𝑏 в 𝑎, т.е. если 𝑎 ∼ 𝑏, то и 𝑏 ∼ 𝑎. Значит, отношение достижимости симметрично.
Несложно показать, что отношение достижимости является также и транзитивным, т.е. если 𝑎 ∼ 𝑏 и 𝑏 ∼ 𝑐, то и 𝑎 ∼ 𝑐. Иными словами, из существования на графе 𝐺 путей из 𝑎 в 𝑏 и из 𝑏 в 𝑐 следует существование пути из 𝑎 в 𝑐. Это действительно так, поскольку из пути из 𝑎 в 𝑏: 𝑎 𝑒1𝑣1… 𝑣k-1𝑒k 𝑏 и пути из 𝑏 в 𝑐: 𝑏 𝑒’1𝑣’1… 𝑣’k-1𝑒’k 𝑐 можно «склеить» путь из 𝑎 в 𝑐:
𝑎 𝑒1𝑣1… 𝑣k-1𝑒k 𝑏 𝑒’1𝑣’1… 𝑣’k-1𝑒’k 𝑐.
Таким образом, отношение достижимости рефлексивно, симметрично и транзитивно, и, значит, является отношением эквивалентности.
Пусть 𝑎 - произвольная вершина графа 𝐺 = (𝑉, 𝐸). Обозначим через [𝑎]~ класс эквивалентности вершины 𝑎 по отношению достижимости, т.е. [𝑎]~ = {𝑏 ∈ 𝑉|𝑎~𝑏}.
Классы эквивалентности по отношению достижимости обладают рядом свойств, присущих классам эквивалентности любого бинарного отношения, а именно:
1) класс эквивалентности любой вершины по отношению достижимости - непустое множество;
2) классы эквивалентности любых двух вершин по отношению достижимости либо не пересекаются, либо совпадают;
3) объединение классов эквивалентности всех вершин графа по отношению достижимости совпадает с самим множеством вершин графа.
Вследствие перечисленных свойств отношение достижимости, заданное на множестве 𝑉 вершин графа 𝐺, порождает разбиение множества 𝑉 на классы эквивалентности по этому отношению.
Опр. Подграф 𝐺a, порождаемый классом эквивалентности [𝑎]~ вершины 𝑎 по отношению достижимости, называют компонентой связности вершины 𝑎.
Другими словами, компонента связности вершины 𝑎 представляет собой подграф графа 𝐺 с множеством вершин [𝑎]~ и множеством ребер, элементами которого являются все те ребра графа 𝐺, концы которых лежат в [𝑎]~.
Компоненты связности графа обладают следующими свойствами:
1) каждая компонента связности - непустой подграф;
2) компоненты связности любых двух вершин либо не пересекаются, либо совпадают;
3) объединение компонент связности всех вершин графа совпадает с самим графом. Вследствие перечисленных свойств совокупность всех различных компонент связности графа образует его дизъюнктное разбиение.
Опр. Число различных компонент связности графа 𝐺 называется числом связности и обозначается 𝑘(𝐺).
Если 𝑘(𝐺) = 1, то граф называется связным. Иными словами, граф связный, если любая пара его вершин соединена путем.
Ответ: 8 элементов, [abc] и [td]
