Тема 8

Опр. Пусть 𝑉 - конечное непустое множество, 𝐸 - конечное множество, состоящее из поименованных неупорядоченных пар элементов множества 𝑉, причем это могут быть пары из одинаковых элементов и одинаковые пары с разными именами. Совокупность множеств 𝑉 и 𝐸 называют графом (или неориентированным графом) и обозначают 𝐺 = (𝑉, 𝐸).

Опр. Если две вершины соединены ребром, их называют смежными вершинами.

Опр. Если ребра имеют общую концевую вершину, то их называют смежными ребрами.

Опр. Если 𝑒₁=𝑣_i𝑣_j и 𝑒₂ = 𝑣_j𝑣_i, то ребра 𝑒₁ и 𝑒₂ называют кратными.

Опр. Ребро вида 𝑒 = 𝑣_i𝑣_i называют петлей.

Опр. Граф без петель и кратных ребер называется обыкновенным.

Опр. Если 𝑣_i - конец ребра 𝑒, то ребро 𝑒 и вершину 𝑣_i называют инцидентными.

Опр. Число ребер, инцидентных вершине 𝑣_i (петля учитывается дважды), называют степенью вершины и обозначают 𝑑𝑒𝑔 𝑣_i.

Пример изи

Лемма о рукопожатиях.

Для любого графа 𝐺 = (𝑉, 𝐸) сумма степеней вершин равна удвоенному числу ребер:

Обыкновенный граф называется полным, если любые две его вершины смежные.

Ответ: 12 вершин => тк граф полный, степень каждой вершины 11 => сумма степеней вершин = 12*11 = 132 => кол-во ребер = 132/2=66

Графы 𝐺₁ и 𝐺₂ называются изоморфными, если существуют такие два взаимно-однозначных отображения 𝜑: 𝑉(𝐺₁) → 𝑉(𝐺₂) и 𝜙: 𝐸(𝐺₁) → 𝐸(𝐺₂), что для всякого ребра 𝑒 = 𝑣𝑢 из 𝐸(𝐺₁) справедливо 𝜙(𝑒) = 𝜑(𝑣)𝜑(𝑢).

Иными словами, два графа изоморфны, если с помощью переименования вершин и ребер их можно сделать одинаковыми. У изоморфных графов одни и те же свойства, выражаемые в терминах теории графов - например, одинаковое число вершин, ребер, висячих ребер, петель, вершин определенной степени.

Опр. Если 𝑒₁=𝑣_i𝑣_j и 𝑒₂ = 𝑣_j𝑣_i, то ребра 𝑒₁ и 𝑒₂ называют кратными.

Опр. Ребро вида 𝑒 = 𝑣_i𝑣_i называют петлей.

Опр. Граф без петель и кратных ребер называется обыкновенным.

Ответ: Таких графов 10

Наверняка есть билет про Матрицу смежности и матрицу инцидентности.

Опр. Обыкновенный граф называется полным, если любые две его вершины смежные. Все полные графы с 𝑛 вершинами изоморфны друг другу и образуют класс эквивалентности по отношению изоморфизма. Для этого класса, т.е. для полного абстрактного графа с 𝑛 вершинами, применяется обозначение 𝐾_n.

Опр. Двудольным графом называется обыкновенный граф, множество вершин которого может быть разбито на два непустых непересекающихся подмножества (доли), так что концы каждого ребра графа принадлежат разным долям. Двудольный граф называется полным двудольным графом, если любые две его вершины, принадлежащие разным долям, смежные.

Все полные двудольные графы с 𝑛 вершинами в одной доле и 𝑚 вершинами в другой (𝑛 ≤ 𝑚) изоморфны друг другу и образуют класс эквивалентности по отношению изоморфизма. Для этого класса, т.е. для полного двудольного абстрактного графа с 𝑛 вершинами в одной доле и 𝑚 вершинами в другой (𝑛 ≤ 𝑚), применяется обозначение

𝐾_{n, m.}

Тема 9

Пути, цепи, циклы на графе.

Путем длины 𝑘 на графе 𝐺 из вершины 𝑣₀ в вершину 𝑣_k называется такая последовательность

𝑣₀ 𝑒₁𝑣₁...𝑣_k-1𝑒_k𝑣_k

вершин и ребер графа, в которой 𝑒_i = 𝑣_i-1𝑣_i (1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑘).

Путь из 𝑣₀ в 𝑣_k обозначают p_v0vk и говорят, что он соединяет вершину 𝑣₀ с вершиной 𝑣_k. Вершины 𝑣₀ и 𝑣_k называют соответственно началом и концом пути.

Кроме того, каждую вершину считают путем длины нуль.

Если 𝑣₀ = 𝑣_k, то путь называется замкнутым.

В произвольном пути любое ребро и любая вершина могут повторяться. Накладывая ограничения на число повторений вершин и ребер, приходим к следующим частным видам путей.

Цепь - это путь без повторяющихся ребер. Цепь, соединяющую вершину 𝑣₀ с вершиной 𝑣_k, обозначают 𝑧_v0vk .

Цепь называется простой, если в ней нет повторяющихся вершин, за исключением, быть может, совпадающих концевых.

Замкнутая цепь ненулевой длины называется циклом.

Замкнутая простая цепь называется простым циклом.

Ребро 𝑒 графа 𝐺 называется мостом, если 𝑘(𝐺) < 𝑘(𝐺 − 𝑒).

(Опр. Число различных компонент связности графа 𝐺 называется числом связности и обозначается 𝑘(𝐺).)

а)

б)

1. Если ребро 𝑒 - мост графа 𝑮, то 𝑘(𝐺 − 𝑒) = 𝑘(𝐺) + 1, т.е. при удалении моста число связности графа увеличивается ровно на единицу (теорема о мостах).

2. Ребро графа является мостом тогда и только тогда, когда оно не содержится ни в одном цикле (теорема о мостах и циклах).

Пусть 𝐺 - произвольный граф. На множестве циклов графа 𝐺 введем бинарное отношение, которое назовем отношением равенства и определим следующим условием: будем считать, что два цикла равны, если множества их ребер совпадают.

Это бинарное отношение, будучи отношением эквивалентности, разбивает множество циклов данного графа на классы эквивалентности. Далее в этом параграфе, говоря о циклах графа, будем иметь в виду, если не оговорено противное, классы эквивалентности, а не отдельных их представителей. Эти классы эквивалентности назовем абстрактными циклами. Любой абстрактный цикл 𝐶 задается множеством своих ребер.

Обобщенным циклом будем называть абстрактный цикл или объединение непересекающихся абстрактных циклов. В число обобщенных циклов включим также цикл без ребер; назовем его пустым циклом и обозначим символом ∅.

На множестве всех обобщенных циклов графа 𝐺 введем две операции:

а) операцию ⊕ сложения по модулю 2: суммой обобщенных циклов 𝐶₁ и 𝐶₂ назовем обобщенный цикл 𝐶₁ ⊕ 𝐶₂ с множеством ребер

{𝑒|((𝑒 ∈ 𝐸₁) ∧ (𝑒 ∉ 𝐸₂)) ∨ ((𝑒 ∉ 𝐸₁) ∧ (𝑒 ∈ 𝐸₂))}

(здесь 𝐸₁ и 𝐸₂ - множества ребер обобщенных циклов 𝐶₁ и 𝐶₂ соответственно);

б) операцию умножения на 0 и 1: 0 ⋅ 𝐶 = ∅; 1 ⋅ 𝐶 = 𝐶.

Множество всех обобщенных циклов графа 𝐺 с операциями сложения по модулю 2 и умножения на 0 и 1 образуют линейное пространство (убедиться в выполнении восьми аксиом линейного пространства несложно).

Операция ⊕ естественным образом распространяется на любое конечное число обобщенных циклов.

Линейной комбинацией обобщенных циклов 𝐶₁, 𝐶₂, ..., 𝐶_n назовем выражение 𝛼₁ ⋅ 𝐶₁ ⊕ 𝛼₂ ⋅ 𝐶₂ ⊕...⊕ 𝛼_n ⋅ 𝐶_n, где 𝛼_i ∈ {0,1}.

Говорят, что система обобщенных циклов 𝐶₁, 𝐶₂, ..., 𝐶_n зависима, если найдется набор чисел 𝛼₁, 𝛼₂, ... , 𝛼_n, не все из которых равны 0, такой, что 𝛼₁ ⋅ 𝐶₁ ⊕ 𝛼₂ ⋅ 𝐶₂ ⊕...⊕ 𝛼_n ⋅ 𝐶_n = ∅. В противном случае систему обобщенных циклов 𝐶₁, 𝐶₂, ..., 𝐶_n называют независимой. Система обобщенных циклов 𝐶₁, 𝐶₂, . . . , 𝐶_k графа 𝐺 образует базис линейного пространства циклов, если она удовлетворяет двум условиям:

1) 𝐶₁, 𝐶₂, . . . , 𝐶_k линейно независима;

2) любой обобщенный цикл 𝐶 графа 𝐺 может быть представлен в виде линейной комбинации обобщенных циклов 𝐶₁, 𝐶₂, . . . , 𝐶_k .

Базис линейного пространства циклов называют фундаментальной системой циклов.