Тема 6.
Булева
функция называется самодвойственной,
если она равна двойственной к ней, т.е.
на любом наборе (𝛼1,...,
𝛼n)
значений переменных (𝑥1,...,
𝑥n)
выполняется равенство 𝑓(𝛼1,...,
𝛼n)
=
.
Обозначим через 𝑺 множество всех самодвойственных функций, а через 𝑺(𝑛) множество самодвойственных функций от 𝑛 переменных.
Пример: f=(00001111)
От 3х: 2^4
От n: 2^((2^n)/2)
Опр. Система функций 𝕭 называется замкнутой, если [𝕭] = 𝕭.
Классы Поста 𝑻0, 𝑻1, 𝑺, 𝑴, 𝑳 являются замкнутыми множествами.
Док-во в теор обоснованиях 6 лекции
Если для
любого 𝑖 𝛼i
≤ 𝛽i
(𝑖 = 1,2,..., 𝑛),
то говорят, что вектор
= (𝛼1,
𝛼2,...,
𝛼n)
предшествует вектору
= (𝛽1,
𝛽2,...,
𝛽n),
и пишут
≺̱
.
Заметим, что если номер вектора меньше номера вектора (и, значит, в таблице истинности стоит выше ), то это еще не значит, что предшествует . Чтобы выяснить, предшествует ли один вектор другому, нужно, согласно определению, сравнить их координаты (первую с первой, вторую со второй и т.д.).
Если имеет место хотя бы одно из соотношений ≺̱ или ≺̱ , то и называют сравнимыми.
Ответ: (0010),(1000),(0000)
Опр. Булева функция 𝑓 называется монотонной, если для любых наборов и значений переменных, таких что ≺̱ , выполняется неравенство 𝑓( ) ≤ 𝑓( ).
Обозначим через 𝑴 множество всех монотонных функций, а через 𝑴(𝑛) множество монотонных функций от 𝑛 переменных.
Пример: монотонная функция: f(00110111), немонотонная функция: 𝑓 = (01010010).
Функции, сохраняющие 0. Функции, сохраняющие 1.
Говорят, что булева функция сохраняет 0, если 𝑓(0,0, . . . ,0) = 0.
Говорят, что булева функция сохраняет 1, если 𝑓(1,1, . . . ,1) = 1.
Обозначим через 𝑻0 (𝑻1) множество всех булевых функций, сохраняющих 0 (1), а через 𝑻0(𝑛) (𝑻1 (𝑛)) множество функций от 𝑛 переменных, сохраняющих 0 (1).
Самодвойственные функции.
Булева функция называется самодвойственной, если она равна двойственной к ней, т.е. на любом наборе (𝛼1,..., 𝛼n) значений переменных (𝑥1,..., 𝑥n) выполняется равенство 𝑓(𝛼1,..., 𝛼n) = .
Обозначим через 𝑺 множество всех самодвойственных функций, а через 𝑺(𝑛) множество самодвойственных функций от 𝑛 переменных.
Монотонные функции.
Если для любого 𝑖 𝛼i ≤ 𝛽i (𝑖 = 1,2,..., 𝑛), то говорят, что вектор = (𝛼1, 𝛼2,..., 𝛼n) предшествует вектору = (𝛽1, 𝛽2,..., 𝛽n), и пишут ≺̱ .
Заметим, что если номер вектора меньше номера вектора (и, значит, в таблице истинности стоит выше ), то это еще не значит, что предшествует . Чтобы выяснить, предшествует ли один вектор другому, нужно, согласно определению, сравнить их координаты (первую с первой, вторую со второй и т.д.).
Если имеет место хотя бы одно из соотношений ≺̱ или ≺̱ , то и называют сравнимыми.
Опр. Булева функция 𝑓 называется монотонной, если для любых наборов и значений переменных, таких что ≺̱ , выполняется неравенство 𝑓( ) ≤ 𝑓( ).
Обозначим через 𝑴 множество всех монотонных функций, а через 𝑴(𝑛) множество монотонных функций от 𝑛 переменных.
Чтобы убедиться в немонотонности функции, достаточно найти два булевых вектора и , такие что ≺̱ , а 𝑓( ) > 𝑓( ). Для вывода о монотонности нужно сравнить значения функции на всех парах сравнимых векторов.
Линейные функции.
Опр. Булева функция называется линейной, если ее полином Жегалкина имеет степень 0 или 1.
Иначе говоря, функция линейна, если ее можно представить формулой вида
𝑓 = 𝑏0 ⊕ 𝑏1 𝑥1 ⊕ 𝑏2𝑥2 ⊕. . .⊕ 𝑏n𝑥n.
Обозначим через 𝑳 множество всех линейных булевых функций, через 𝑳(𝑛) - множество линейных функций от 𝑛 переменных
Ответ: (1110) и (0011)
Ответ: 2^7
000 должно реализовывать 1
А остальные 7 либо 0, либо 1