Тема 3.

Для задания булевых функций, помимо таблиц, используют формулы, которые обычно строят по «принципу матрешек», вкладывая друг в друга символические обозначения функций. Говоря о формуле, часто указывают, с использованием каких функций она строилась. В некоторых случаях нужно указывать и то, какие использовались переменные.

Например, ((𝑥₁ ∨ 𝑥₂) → (𝑥₂|𝑥₃)) - формула над множеством функций, состоящим из дизъюнкции, импликации и штриха Шеффера с переменными из множества {𝑥₁, 𝑥₂, 𝑥₃}.

Формула каждому набору значений аргументов ставит в соответствие значение некоторой функции и может служить, наряду с таблицей, способом задания этой функции. При этом говорят, что формула задает (представляет, реализует) функцию.

----

Если 𝐴 - подформула формулы 𝛷, то при замене в формуле 𝛷 любого вхождения 𝐴 на равносильную ей формулу 𝐴₁ формула 𝛷 переходит в равносильную ей формулу 𝛷₁.

----

(𝑥₁ ↔ (𝑥₂ ∧ (¬𝑥₁))) = 𝑥₁ ↔ 𝑥₂𝑥̄₁

Булевым вектором называется упорядоченный набор (𝛼₁, 𝛼₂,..., 𝛼_n), где 𝛼_i принимают значения 0 или 1.

Числа 𝛼_i называют координатами вектора, число 𝑛 - его длиной.

Число 𝑣( ) = 𝛼₁ ⋅ 2^n-1 + 𝛼₂ ⋅ 2^n-2+... +𝛼_k ⋅ 2^n-k+… +𝛼_n ⋅ 2⁰ называют номером булева вектора = (𝛼₁, 𝛼₂,..., 𝛼_n).

----

𝑣( ) = 𝛼₁ ⋅ 2³ + 𝛼₂ ⋅ 2² + 𝛼₃ ⋅ 2¹ + 𝛼₄ ⋅ 2⁰ = 15

8𝛼₁ + 4𝛼₂ + 2𝛼₃ + 𝛼₄ = 15

𝛼₁ = 1

𝛼₂ = 1

𝛼₃ = 1

𝛼₄ = 1

----

Опр. Функция, определенная на 𝐵ⁿ и принимающая значение 0 или 1, называется булевой функцией от 𝑛 переменных.

Чтобы задать булеву функцию 𝑓 от 𝑛 переменных, достаточно указать ее значение (0 или 1) на каждом наборе (𝛼₁, 𝛼₂,..., 𝛼_n) значений аргументов 𝑥₁, 𝑥₂,..., 𝑥_n. Для задания булевой функции удобно использовать таблицу истинности (табл. 2.1). В каждой строке такой таблицы вначале идет набор (𝛼₁, 𝛼₂,..., 𝛼_n) значений переменных 𝑥₁, 𝑥₂,..., 𝑥_n, а затем значение функции на этом наборе. Булевы векторы перечисляются сверху вниз в порядке возрастания номеров.

Таблицы истинности булевых функций от одного числа аргументов отличаются лишь последним столбцом. Поэтому булеву функцию можно также задать вектором значений, выписав его по правому столбцу таблицы истинности.

----

Ответ: 2, 3, n (тк количество переменных – длина булева вектора)

----

Ответ: Число булевых векторов длины n равно 2ⁿ. Действительно, с точки зрения комбинаторики булев вектор длины n - упорядоченная выборка элементов множества {0,1}, которую можно построить за n шагов (на первом шаге выбрать первую координату, на втором - вторую и т.д.). Для выбора каждой координаты есть два варианта (0 или 1). Следовательно, согласно правилу произведения, последовательный выбор n координат можно сделать 2 ⋅ 2 ⋅...⋅ 2 = 2ⁿ способами.

Если формулы 𝛷₁ и 𝛷₂ задают одну функцию, то их называют равносильными и пишут 𝛷₁ = 𝛷₂.

----

Пошагово строим для каждой функции таблицу истинности.

----

Тема 4.

----

Ответ: 2^8-1

• для сднф мы берем если функция = 1

• значит можем либо взять, либо не взять => 2 варианта

• и вырожденный случай когда все значения равны 0

О пр. Формулу вида где для любого 𝑖 𝜎_i равно 0 или 1 и все переменные разные (𝑖_v ≠ 𝑖_µ, если 𝜈 ≠ 𝜇), называют элементарной конъюнкцией ранга r над множеством X.

Константу 1 считают элементарной конъюнкцией ранга 0.

Полиномом Жегалкина над множеством 𝑋 = {𝑥₁, 𝑥₂, ..., 𝑥_n} называется всякая сумма (по модулю два) различных элементарных конъюнкций над 𝑋, не содержащих отрицаний переменных.

Пример: x₁+x₂x₃ =1

Теорема 2.9. Для любой булевой функции существует задающий ее полином Жегалкина. Он единственен с точностью до перестановок слагаемых.

Алгоритм: 1. Представляем функцию в виде СДНФ функции

2. Избавляемся от отрицания и дизъюнкции с помощью формул 8 и 4

3. Перемножаем скобки воспользовавшись тождествами 3 и 7

4. Упрощаем с помощью равенств 1-6

Пример.

Двойственная функция.

Функция, заданная формулой (𝑥̄₁, 𝑥̄₂,..., 𝑥̄_n), называется двойственной к функции 𝑓(𝑥₁, 𝑥₂,..., 𝑥_n).

Функцию, двойственную к 𝑓, обозначают 𝑓*, таким образом, 𝑓*(𝑥₁,𝑥₂,...,𝑥_n) = (𝑥̄₁,𝑥̄₂,...,𝑥̄_n).

Нетрудно заметить, что столбец значений функции 𝑓* можно получить из столбца значений функции 𝑓, действуя по следующему алгоритму:

1) столбец значений функции 𝑓 переписать в обратном порядке (т.е. число, стоящее в первой строке, записать в последнюю строку; число, стоящее во второй строке, - в предпоследнюю строку и т.д.);

2) в получившемся в результате выполнения п. 1 столбце значений каждое число заменить его отрицанием (0 заменить 1 и 1 заменить 0).

Очевидно, что этот алгоритм можно использовать для построения двойственной функции в случае любого числа аргументов.

Если функция задана вектором значений, то роль столбца значений в алгоритме выполняет вектор значений.

Eсли функция 𝑔 = 𝑓*, то функция 𝑓 = 𝑔*. Это утверждение несложно обосновать теоретически.

Действительно, пусть 𝑔(𝑥₁, 𝑥₂,..., 𝑥_n) = 𝑓*( 𝑥₁, 𝑥₂,..., 𝑥_n). Тогда

g*(𝑥₁, 𝑥₂,..., 𝑥_n) = (𝑓*( 𝑥₁, 𝑥₂,..., 𝑥_n))*= ( (𝑥̄₁,𝑥̄₂,...,𝑥̄_n))*=

= ( , ,…, )= 𝑓( 𝑥₁, 𝑥₂,..., 𝑥_n).

Пусть функция 𝑓 задана формулой, и мы хотим построить формулу для двойственной к ней функции 𝑓*. Согласно определению, это можно сделать, заменив в формуле, которой задана 𝑓, каждую переменную ее отрицанием и взяв отрицание от самой формулы.

Принцип двойственности.

Если формула 𝛷[𝑓₁, 𝑓₂,..., 𝑓_n] задает функцию 𝑔, то формула, полученная из нее заменой символов функций 𝑓₁, 𝑓₂,..., 𝑓_n на символы двойственных к ним функций 𝑓₁*, 𝑓₂*,..., 𝑓_n*, задает функцию 𝑔*, двойственную к функции 𝑔. Полученную таким образом формулу будем называть двойственной к 𝛷[𝑓₁, 𝑓₂,..., 𝑓_n] и обозначать 𝛷*[𝑓₁, 𝑓₂,..., 𝑓_n].

Если функция задана формулой над множеством 0,1, x, , xy, xy , то, используя пример 1, принципу двойственности можно придать более конкретный вид: если в формуле 𝛷, представляющей функцию 𝑓, все конъюнкции заменить на дизъюнкции, дизъюнкции - на конъюнкции, 1 на 0, 0 на 1, то получим формулу 𝛷*, представляющую функцию 𝑓*, двойственную к 𝑓.