Тема 13(Ориентированные графы: первичные понятия. Отыскание кратчайших путей на орграфе)
Билет 1.
Билет 2.
Билет 3.
Тема 14. Задача о максимальном потоке в сети.
Билет 1.
Билет 2.
Билет 3.
Билет 4.
Билет 5.
Билет 6.
Билет 7.
Тема 15. Паросочетания в двудольных графах.
Билет 1.
Билет 2.
Тема 16. Задание булевых функций графами: схемы из функциональных элементов, УБДР
Билет 1.
Билет 2.
Билет 3.
Билет 4.
Тема 13(Ориентированные графы: первичные понятия. Отыскание кратчайших путей на орграфе)
(Билет 1)
Опр. Пусть 𝑉 - конечное непустое множество, 𝑈 - конечное множество, состоящее из поименованных упорядоченных пар элементов множества 𝑉, причем это могут быть пары из одинаковых элементов и одинаковые пары с разными именами. Совокупность множеств 𝑉 и 𝑈 называют ориентированным графом или, короче, орграфом и обозначают 𝐺 = (𝑉,𝑈).
Опр. Орграфы 𝐺_1 и 𝐺_2 называются изоморфными, если существуют такие два взаимно-однозначных отображения 𝜑: 𝑉(𝐺_1) → 𝑉(𝐺_2) и 𝜙: 𝑈(𝐺_1) → 𝑈(𝐺_2), что для всякой дуги 𝑢 = (𝑣_1, 𝑣_2) из 𝑈(𝐺_1) справедливо равенство 𝜙(𝑢) = (𝜑(𝑣_1),𝜑(𝑣_2)).
Опр. Ориентированный обыкновенный граф – ориентированный граф без петель и кратных ребер (учитывается только одно направление).
(Билет 2)
Пусть 𝐺 - произвольный орграф с m вершинами и n дугами. Пометим его дважды, т.е. упорядочим множества его вершин и дуг.
Опр. Матрицей смежности орграфа 𝐺 называется матрица 𝐴(𝐺) размера 𝑚 × 𝑚, элементы которой 𝑎ij = 𝑠, где 𝑠 - число дуг, исходящих из вершины с номером 𝑖 и заходящих в вершину с номером 𝑗.
Опр. Матрицей инцидентности орграфа 𝐺 называется матрица 𝐵(𝐺) размера 𝑚 × 𝑛, элементы которой 𝑏ij определены следующим образом:
1) 𝑏ij = 1, если вершина с номером i - начало дуги с номером j и j-я дуга - не петля;
2) 𝑏ij = −1, если вершина с номером i - конец дуги с номером j и j-я дуга - не петля;
3) 𝑏ij = 0 во всех остальных случаях.
(Билет 3)
Опр. Базис индукции. Орграф 𝑇0 = (𝑉0,𝑈0) с единственной вершиной 𝑎 и пустым множеством дуг является ориентированным деревом. Вершина 𝑎 - называется корнем этого дерева.
Из определения непосредственно следует, что в каждом ориентированном дереве есть ровно одна вершина (корень), в которую не входят дуги, в каждую из остальных вершин входит ровно по одной дуге и все вершины достижимы из корня. Вершины ориентированного дерева, из которых не выходят дуги, называются листьями. Если из вершины 𝑎 ведет дуга в вершину 𝑏, то 𝑎 называется отцом, а 𝑏 - сыном. Из определения дерева следует, что у каждой вершины (кроме корня) имеется единственный отец. Если из вершины 𝑎 ведет путь в вершину 𝑏, то 𝑎 называется предком, а 𝑏 – потомком.
Путь из корня в лист называется ветвью дерева. Максимальная из длин ветвей дерева называется высотой дерева. Глубина вершины - это длина пути из корня в эту вершину. Для вершины 𝑣 подграф дерева 𝑇, включающий все достижимые из 𝑣 вершины и инцидентные им дуги, образует поддерево 𝑇v с корнем 𝑣. Высота вершины 𝑣 - это высота дерева 𝑇v.
Ориентированное дерево называется бинарным, если у каждой его вершины имеется не более двух сыновей, причем дуги, ведущие к ним, помечены двумя разными метками (например, 0 и 1).
Бинарное дерево называется полным, если у всех его вершин (за исключением листьев) имеется ровно два сына и все его ветви имеют одинаковую длину.
Тема 14. Задача о максимальном потоке в сети.
(Билет 1)
(Билет 2)
В теории графов расстоянием между двумя вершинами графа называется число рёбер в кратчайшем пути
(Билет 3)
(Билет 4)
(Билет 5)
См (Билет 4)
(Билет 6 + 4*)
(Пример см Билет 3)
(Билет 7)
Тема 15. Паросочетания в двудольных графах.
(Билет 1)
(Билет 2)
Тема 16. Задание булевых функций графами: схемы из функциональных элементов, УБДР
(Билет 1)
(Билет 2)
(Билет 3)
(Билет 4)
