Тема 14. Задача о максимальном потоке в сети.

Сеть.

В этом параграфе будут рассматриваться сети 𝐺 = (𝑉,𝑈, 𝜌), имеющие единственную вершину 𝑠 с нулевой полустепенью захода и единственную вершину 𝑡 с нулевой полустепенью исхода. Вершину 𝑠 будем называть источником, а вершину 𝑡 - стоком, вес 𝜌(𝑢) дуги 𝑢 - пропускной способностью дуги 𝑢.

Для удобства изложения введем следующие обозначения. Через 𝑣 + обозначим множество дуг, для которых вершина 𝑣 является началом, а через 𝑣 − обозначим множество дуг, для которых вершина 𝑣 является концом.

Поток в сети.

Опр. Потоком в сети 𝐺 = (𝑉, 𝑈, 𝜌) называется функция 𝑓: 𝑈 → 0, ∞), удовлетворяющая условиям:

1) ∀𝑢 ∈ 𝑈 𝑓(𝑢) ≤ 𝜌(𝑢);

2) 𝑓(𝑣 −) = 𝑓(𝑣 +) для всех вершин 𝑣, 𝑣 ≠ 𝑠, 𝑣 ≠ 𝑡, где 𝑓(𝑣 −) = и 𝑓(𝑣 +) = .

Значение 𝑓(𝑣 −) можно интерпретировать как поток, втекающий в вершину 𝑣, а значение 𝑓(𝑣 +) - как поток, вытекающий из вершины 𝑣. Тогда второе условие можно переформулировать так: поток, втекающий в любую вершину, за исключением источника и стока, должен быть равен потоку, вытекающему из этой вершины.

Условие 1) называется условием ограничения по пропускной способности, а условие 2) - условием сохранения потока в вершинах.

Величина потока. Максимальный поток.

Опр. Положим ‖𝑓‖ = 𝑓(𝑠 +). Число ‖𝑓‖ называется величиной потока.

Опр. Поток 𝑓 ∗ называется максимальным, если для любого потока 𝑓 справедливо неравенство ‖𝑓‖ ≤ ‖𝑓 ∗‖. Задача о максимальном потоке формулируется следующим образом: в заданной сети 𝐺 найти поток максимальной величины.

Дополняющая цепь.

При решении задачи об отыскании максимального потока в сети приходится рассматривать неориентированные простые цепи, т.е. такие последовательности попарно различных вершин и дуг 𝑣₀𝑢₁𝑣₁ . . . 𝑣_k-1𝑢_k𝑣_k, в которой любые два соседних элемента инцидентны. Поскольку цепи других видов нас при этом интересовать не будут, то далее в этом параграфе неориентированные простые цепи будем называть просто цепями.

Если в цепи 𝑣₀𝑢₁𝑣₁ . . . 𝑣_k-1𝑢_k𝑣_k дуга 𝑢_i выходит из вершины 𝑣_i-1 и заходит в вершину 𝑣_i, то она называется прямой дугой цепи. Если же дуга 𝑢_i выходит из вершины 𝑣_i и заходит в вершину 𝑣_i-1, то она называется обратной дугой цепи.

Опр. Цепь 𝑃 из 𝑣 в 𝑤 называется дополняющей для 𝑓, если ℎ(𝑃) > 0.

Разрез в сети.

Опр. Разрезом (𝑉_s, 𝑉_t) в сети 𝐺 называется пара множеств 𝑉_s и 𝑉_t, удовлетворяющих условиям:

1) 𝑠 ∈ 𝑉_s, 𝑡 ∈ 𝑉_t;

2) 𝑉_s ∪ 𝑉_t = 𝑉;

3) 𝑉_s ∩ 𝑉_t = ∅.

Через 𝑉_s → 𝑉_t обозначим множество всех дуг, начала которых лежат в 𝑉_s, а концы - в 𝑉_t, а через 𝑉_t → 𝑉_s - множество всех дуг, начала которых лежат в 𝑉_t, а концы - в 𝑉_s.

Опр. Положим 𝜌(𝑉_s → 𝑉_t) = = . Число 𝜌(𝑉_s → 𝑉_t) называется пропускной способностью разреза (𝑉_s, 𝑉_t).

Минимальный разрез.

Опр. Разрез (𝑉_s∗, 𝑉_t∗) называется минимальным, если для любого разреза (𝑉_s, 𝑉_t) справедливо неравенство 𝜌(𝑉_s∗→ 𝑉_t∗) ≤ 𝜌(𝑉_s → 𝑉_t).

Во второй части параграфа будет доказано, что величина максимального потока в произвольной сети равна пропускной способности минимального разрез.

Если для сети найден максимальный поток, то минимальный разрез можно найти следующим образом: включить в множество 𝑉_s вершину 𝑠 и все вершины 𝑣 ∈ 𝑉, для каждой и существует цепь 𝑃 из 𝑠 в 𝑣 с остаточной пропускной способностью ℎ(𝑃) > 0; положить 𝑉_t = 𝑉\𝑉_s. Полученный таким образом разрез (𝑉_s, 𝑉_t) будет минимальным.

Алгоритм Форда – Фалкерсона.

Обоснование алгоритма (Леммы 1,2,3 и теорема Форда-Фалкерсона).