Тема 13. Ориентированные графы: первичные понятия.

Ориентированный граф (орграф).

Опр. Пусть 𝑉 - конечное непустое множество, 𝑈 - конечное множество, состоящее из поименованных упорядоченных пар элементов множества 𝑉, причем это могут быть пары из одинаковых элементов и одинаковые пары с разными именами. Совокупность множеств 𝑉 и 𝑈 называют ориентированным графом или, короче, орграфом и обозначают 𝐺 = (𝑉, 𝑈).

Элементы множества 𝑉называют вершинами, а элементы множества 𝑈 - дугами.

Если дуга 𝑢 есть упорядоченная пара вершин 𝑣_i и 𝑣_j , то пишут 𝑢 = (𝑣_i, 𝑣_j). Вершину 𝑣_i называют началом дуги 𝑢, а вершину 𝑣_j - ее концом. При этом говорят, что дуга 𝑢 исходит (выходит) из вершины 𝑣_i и заходит в вершину 𝑣_j. Дугу 𝑢 и вершину 𝑣_i (𝑣_j) называют при этом инцидентными.

Число дуг, исходящих из вершины 𝑣_i орграфа 𝐺, называют полустепенью исхода вершины 𝑣_i и обозначают 𝑑𝑒𝑔₊ 𝑣_i . Число дуг, заходящих в вершину 𝑣_i, называют полустепенью захода вершины 𝑣_i и обозначают 𝑑𝑒𝑔_- 𝑣_i . Число 𝑑𝑒𝑔 𝑣_i = 𝑑𝑒𝑔_-𝑣_i + 𝑑𝑒𝑔₊𝑣_i называют степенью вершины 𝑣_i.

Из определений следует, что для любого орграфа 𝐺 = (𝑉,𝑈) справедливы равенства:

= = |𝑈|.

Понятия изолированных и висячих вершин, а также висячих, кратных дуг и петель вводятся для ориентированного графа по аналогии с подобными понятиями для неориентированного графа.

Дуги вида 𝑢₁ = (𝑎, 𝑏) и 𝑢₂ = (𝑏, 𝑎) называются симметричными.

Ориентированные графы без петель и кратных дуг называют обыкновенными ориентированными графами.

Направленным графом называется такой обыкновенный орграф, который не имеет симметричных пар ориентированных дуг.

Диаграмма орграфа.

Орграфы принято изображать при помощи диаграмм, аналогичных диаграммам графов, отличие состоит лишь в том, что линиям, изображающим дуги, придают направление.

Изоморфные орграфы.

Орграфы 𝐺₁ и 𝐺₂ называются изоморфными, если существуют такие два взаимно-однозначных отображения 𝜑: 𝑉(𝐺₁) → 𝑉(𝐺₂) и 𝜙: 𝑈(𝐺₁) → 𝑈(𝐺₂), что для всякой дуги 𝑢 = (𝑣₁, 𝑣₂) из 𝑈(𝐺₁) справедливо равенство 𝜙(𝑢) = (𝜑(𝑣₁), 𝜑(𝑣₂)).

Введем на множестве орграфов бинарное отношение изоморфизма, состоящее из всех пар изоморфных орграфов. Это отношение рефлексивно, симметрично и транзитивно, и значит, является отношением эквивалентности. Оно разбивает множество всех орграфов на классы эквивалентности так, что орграфы одного класса попарно изоморфны, а орграфы разных классов не изоморфны. Если не оговорено иное, орграфы рассматриваются с точностью до изоморфизма, т.е. объектом изучения являются не отдельные орграфы, а классы эквивалентности по отношению изоморфизма. Каждый класс эквивалентности по отношению изоморфизма можно задать диаграммой, не указывая на ней имена вершин и дуг.

Матрицы смежности и инцидентности орграфа.

Пусть 𝐺 - произвольный орграф с m вершинами и n дугами. Пометим его дважды, т.е. упорядочим множества его вершин и дуг.

Опр. Матрицей смежности орграфа 𝐺 называется матрица 𝐴(𝐺) размера 𝑚 × 𝑚, элементы которой 𝑎_ij = 𝑠, где 𝑠 - число дуг, исходящих из вершины с номером 𝑖 и заходящих в вершину с номером 𝑗.

Опр. Матрицей инцидентности орграфа 𝐺 называется матрица 𝐵(𝐺) размера 𝑚 × 𝑛, элементы которой 𝑏_ij определены следующим образом:

1) 𝑏_ij = 1, если вершина с номером i - начало дуги с номером j и j-я дуга - не петля;

2) 𝑏_ij = −1, если вершина с номером i - конец дуги с номером j и j-я дуга - не петля;

3) 𝑏_ij = 0 во всех остальных случаях.

Ориентированные пути, цепи, циклы.

Ориентированные путь, замкнутый путь, цепь, цикл, простая цепь и простой цикл определяются в ориентированном графе аналогично соответствующим неориентированным объектам в графах, однако с тем отличием, что в последовательности вершин и дуг 𝑣₀𝑢₁𝑣₁ ... 𝑣_k-1𝑢_k𝑣_k для любой дуги 𝑢_i (𝑖 = 1, ..., 𝑘) вершина 𝑣_i-1 является началом, а вершина 𝑣_i- концом.

Простой орцикл часто называют контуром.

Очевидно, что, если на орграфе есть ориентированный путь из вершины 𝑣₁ в вершину 𝑣₂, то есть и ориентированная простая цепь из 𝑣₁ в 𝑣₂.

Слабая и сильная связность.

На множестве вершин ориентированного графа 𝐺 введем бинарное отношение достижимости (связности) (~), включив в него все те пары вершин (𝑎, 𝑏), для которых на орграфе есть путь из 𝑎 в 𝑏. Если 𝑎 ∼ 𝑏, то говорят, что 𝑏 достижима из 𝑎.

Ориентированный граф называется сильно связным, если любая вершина в нем достижима из любой другой вершины.

Заменяя каждую дугу 𝑢 = (𝑎, 𝑏) орграфа 𝐺 на ребро 𝑢 = 𝑎𝑏, получаем неориентированный граф 𝐺₀, называемый основанием данного орграфа 𝐺.

Орграф называется связным (слабо связным), если связно его основание. Очевидно, что сильно связный граф является связным; обратное утверждение в общем случае неверно.

Орграф, основание которого есть полный граф, называется турниром.