Тема 12. Обходы графов.
Эйлеровы цикл и цепь, критерии их существования.
Опр. Эйлеров цикл - это цикл на графе, содержащий все вершины и все ребра графа, а граф, на котором имеется эйлеровый цикл, - эйлеровым графом.
Цепь на графе (как замкнутая, так и незамкнутая), содержащая все вершины и все ребра графа, называют эйлеровой цепью (замкнутая эйлерова цепь есть не что иное, как эйлеров цикл).
Следующие два утверждения являются критериями существования эйлерова цикла и эйлеровой цепи на связном графе:
1) связный граф содержит эйлеров цикл тогда и только тогда, когда каждая его вершина имеет четную степень;
2) связный граф содержит эйлерову цепь тогда и только тогда, когда он имеет не более двух вершин нечетной степени.
Алгоритм построения эйлерова цикла.
Пусть 𝐺 - связный граф, все вершины которого имеют четную степень.
1-й шаг. Произвольно выбираем некоторую вершину 𝑣1 и инцидентное ей ребро. Этому ребру присваиваем номер 1. Переходим по этому ребру в вершину 𝑣2, после чего ребро удаляем.
𝑘 -й шаг. Пусть к началу этого шага мы находимся в вершине 𝑣k. Выбираем инцидентное этой вершине ребро, соблюдая следующие правила:
1) находясь в вершине 𝑣k, не следует выбирать ребро, соединяющее 𝑣k с 𝑣1, если имеется возможность иного выбора;
2) находясь в вершине 𝑣k, не следует выбирать ребро, которое является перешейком, т.е. таким ребром, при удалении которого граф, образованный оставшимися ребрами, распадается на ненулевые компоненты связности.
Выбранному ребру присваиваем номер 𝑘, проходим по нему из вершины 𝑣k в смежную с ней вершину 𝑣k+1, после чего ребро с номером 𝑘 удаляем. Если после этого все ребра в графе оказались удаленными, то эйлеров цикл построен (порядок нумерации ребер соответствует последовательности их обхода в графе 𝐺).
В противном случае удаляем ребро с номером 𝑘, увеличиваем 𝑘 на единицу и повторяем 𝑘 -й шаг.
Гамильтоновы цикл и цепь.
Опр. Гамильтоновой цепью графа называется такая его простая цепь, которая проходит через каждую вершину ровно один раз. Замкнутая гамильтонова цепь называется гамильтоновым циклом. Граф называется гамильтоновым, если он обладает гамильтоновым циклом. Гамильтонов цикл не обязан проходить по всем ребрам графа.
Задача коммивояжера.
Раскраска графов. Раскраска графа.
Пусть 𝐺 = (𝑉, 𝐸) - произвольный граф и {𝑐1, 𝑐2,..., 𝑐k} - некоторое множество, элементы которого будем называть к
Опр. Раскраской графа 𝐺 в 𝑘 цветов называется отображение 𝑝: 𝑉 → {𝑐1, 𝑐2,..., 𝑐k} такое, что для любых двух смежных вершин 𝑎 и 𝑏 выполняется условие 𝑝(𝑎) ≠ 𝑝(𝑏).
Если раскраска графа задана, то говорят, что вершина 𝑎 имеет цвет 𝑝(𝑎).
Отметим, что здесь не предполагается, что 𝑝 отображает 𝑉 на все множество красок {𝑐1, 𝑐2,..., 𝑐k} (т.е. какие-то краски могут оказаться неиспользованными).
Хроматическое число графа.
Граф называется 𝑘 -раскрашиваемым, если он может быть раскрашен в 𝑘 цветов. Если при этом его нельзя раскрасить в 𝑘 − 1 цвет, то он называется 𝑘 -хроматическим. Число 𝑘 в таком случае называют хроматическим числом графа и обозначают 𝜒(𝐺).
Критерий бихроматичности.
Приведем ряд утверждений о хроматических числах графов:
1) 1-хроматические графы - это нулевые графы и только они;
2) 2-хроматические графы - это ненулевые двудольные графы и только они (заметим, что 2-хроматические графы также называют бихроматическими);
3) ненулевой обыкновенный граф является бихроматическим тогда и только тогда, когда не содержит циклов нечетной длины;
4) любой планарный граф можно раскрасить не более чем в четыре цвета.
Заметим, что из утверждения 3 следует, что любое неодноэлементное дерево является бихроматическим графом.
Раскраска плоских графов.
