Тема 11. Планарность.

Укладка графов в трехмерном пространстве.

Граф обладает укладкой в пространстве, если в трехмерном евклидовом пространстве можно построить такую диаграмму графа, в которой ребра не имеют общих точек, отличных от концевых. Сама диаграмма, обладающая указанным свойством, называется при этом укладкой графа в пространстве

Утверждение. Любой граф обладает укладкой в пространстве.

Укладка графа на плоскости.

Граф обладает укладкой на плоскости, если в двумерном евклидовом пространстве существует такая диаграмма графа, в которой ребра не имеют общих точек, отличных от концевых.

Планарные графы.

Граф, обладающий укладкой на плоскости, называют планарным. Любую укладку планарного графа на плоскости называют плоским графом.

Совокупность ребер каждого простого цикла плоского графа может рассматриваться как граница некоторой области на плоскости. Те из этих областей, которые не содержат внутри себя ребер других простых циклов данного плоского графа, называют гранями плоского графа. Одна из граней любого плоского графа не ограничена, ее называют внешней гранью, остальные грани называют внутренними гранями.

Связь между числом вершин, ребер и граней плоского графа.

Пусть 𝐺 = (𝑉, 𝐸) - связный плоский граф, 𝑆 - множество его граней. Тогда |𝑆| = |𝐸| − |𝑉|+2 (формула Эйлера).

Чтобы доказать планарность графа, достаточно нарисовать его плоскую укладку. Непланарность графов обосновывать сложнее. В некоторых случаях непланарность удается доказать с помощью формулы Эйлера.

Пример:

◄ Будем рассуждать от противного. Предположим, что граф 𝐾₅ планарен. Тогда у него есть укладка на плоскости. Пусть 𝑆 - множество граней этой укладки и граница i-й грани состоит из 𝑙_i ребер, где 𝑖 = 1, . . . , |𝑆|. Поскольку каждое ребро графа 𝐾₅ содержится в некотором цикле и, следовательно, лежит на границе двух граней, то

l₁ + l₂ + … + l_|s| = 2|𝐸|.

Граф 𝐾₅ не имеет петель и кратных ребер, значит, каждая грань его укладки граничит не менее чем с тремя ребрами и 𝑙_i ≥ 3. Следовательно, 3 + 3 +…+ 3 слагаемых ≤ 2|𝐸|, т.е. 3|𝑆| ≤ 2|𝐸|. Граф 𝐾₅ имеет 5 вершин и 10 ребер, следовательно, по формуле Эйлера |𝑆| = |𝐸| − |𝑉| + 2 = 10 − 5 + 2 = 7. Значит, должно выполняться неравенство 21 ≤ 20, что неверно. Пришли к противоречию. Следовательно, предположение о планарности графа 𝐾₅ было неверным. ►

Гомеоморфные графы.

Будем говорить, что граф 𝐺₁ гомеоморфен графу 𝐺₂, если 𝐺₁ изоморфен некоторому графу, который можно получить из 𝐺₂ путем применения конечное число раз операций включения и исключения вершин степени 2.

Пример 4. Графы 𝐺₁, 𝐺₂ и 𝐺₃ (рис. 3.54) - попарно гомеоморфны. Действительно, граф 𝐺₁ можно получить из графа 𝐺₂ путем исключения вершины 𝑏 (и наоборот, граф 𝐺₂ можно получить из графа 𝐺₁ путем включения вершины 𝑏). Граф 𝐺₁ можно получить из графа 𝐺₃ путем включения вершины 𝑡 (и наоборот, граф 𝐺₃ можно получить из графа 𝐺₁ путем исключения вершины 𝑡). Граф 𝐺₂ можно получить из графа 𝐺₃ путем включения вершин 𝑏 и 𝑡 (и наоборот, граф 𝐺₃ можно получить из графа 𝐺₂ путем исключения вершин 𝑏 и 𝑡).

Критерии планарности.

Алгоритм укладки графа на плоскости.