Тема 8. Неориентированные графы: первичные понятия.

Граф, его вершины и ребра.

Опр. Пусть 𝑉 - конечное непустое множество, 𝐸 - конечное множество, состоящее из поименованных неупорядоченных пар элементов множества 𝑉, причем это могут быть пары из одинаковых элементов и одинаковые пары с разными именами. Совокупность множеств 𝑉 и 𝐸 называют графом (или неориентированным графом) и обозначают 𝐺 = (𝑉, 𝐸).

Опр. Элементы множества 𝑉 называют вершинами, а элементы множества 𝐸 - ребрами.

Опр. Нулевой граф – граф, у которого нет ребер.

Опр. Если 𝑒 = 𝑣_i𝑣_j, то говорят, что ребро 𝑒 соединяет вершины 𝑣_i и 𝑣_j, и вершины 𝑣_I и 𝑣_j называют концами ребра.

Смежные вершины.

Опр. Если две вершины соединены ребром, их называют смежными вершинами.

Опр. Если ребра имеют общую концевую вершину, то их называют смежными ребрами.

Кратные ребра, петли.

Опр. Если 𝑒₁=𝑣_i𝑣_j и 𝑒₂ = 𝑣_j𝑣_i, то ребра 𝑒₁ и 𝑒₂ называют кратными.

Опр. Ребро вида 𝑒 = 𝑣_i𝑣_i называют петлей.

Опр. Граф без петель и кратных ребер называется обыкновенным.

Инцидентные вершины и ребра.

Опр. Если 𝑣_i - конец ребра 𝑒, то ребро 𝑒 и вершину 𝑣_i называют инцидентными.

Степени вершин.

Опр. Число ребер, инцидентных вершине 𝑣_i (петля учитывается дважды), называют степенью вершины и обозначают 𝑑𝑒𝑔 𝑣_i.

Висячие и изолированные вершины.

Опр. Если 𝑑𝑒𝑔 𝑣_i = 0, то вершину 𝑣_i называют изолированной, а если 𝑑𝑒𝑔 𝑣_i = 1, то - висячей. Ребро, инцидентное висячей вершине, также называют висячим.

Лемма о рукопожатиях.

Для любого графа 𝐺 = (𝑉, 𝐸) сумма степеней вершин равна удвоенному числу ребер:

Диаграмма графа.

Обычно графы представляют диаграммами. Каждой вершине графа 𝑣_i ставят в соответствие свою точку плоскости или пространства, которую помечают тем же символом, что и вершину 𝑣_i, а каждому ребру 𝑒 = 𝑣_i 𝑣_j ставят в соответствие непрерывную кривую, соединяющую точки 𝑣_i , 𝑣_j и не проходящую через точки, изображающие другие вершины графа.

Изоморфные графы.

Графы 𝐺₁ и 𝐺₂ называются изоморфными, если существуют такие два взаимно-однозначных отображения 𝜑: 𝑉(𝐺₁) → 𝑉(𝐺₁) и 𝜙: 𝐸(𝐺₁) → 𝐸(𝐺₂), что для всякого ребра 𝑒 = 𝑣𝑢 из 𝐸(𝐺₁) справедливо 𝜙(𝑒) = 𝜑(𝑣)𝜑(𝑢).

Иными словами, два графа изоморфны, если с помощью переименования вершин и ребер их можно сделать одинаковыми. У изоморфных графов одни и те же свойства, выражаемые в терминах теории графов - например, одинаковое число вершин, ребер, висячих ребер, петель, вершин определенной степени.

Специальные виды графов: обыкновенные, полные, двудольные, полные двудольные графы.

Опр. Обыкновенный граф называется полным, если любые две его вершины смежные. Все полные графы с 𝑛 вершинами изоморфны друг другу и образуют класс эквивалентности по отношению изоморфизма. Для этого класса, т.е. для полного абстрактного графа с 𝑛 вершинами, применяется обозначение 𝐾_n.

Опр. Двудольным графом называется обыкновенный граф, множество вершин которого может быть разбито на два непустых непересекающихся подмножества (доли), так что концы каждого ребра графа принадлежат разным долям. Двудольный граф называется полным двудольным графом, если любые две его вершины, принадлежащие разным долям, смежные.

Все полные двудольные графы с 𝑛 вершинами в одной доле и 𝑚 вершинами в другой (𝑛 ≤ 𝑚) изоморфны друг другу и образуют класс эквивалентности по отношению изоморфизма. Для этого класса, т.е. для полного двудольного абстрактного графа с 𝑛 вершинами в одной доле и 𝑚 вершинами в другой (𝑛 ≤ 𝑚), применяется обозначение

𝐾_{n, m.}

Матрица смежности и матрица инцидентности.

Опр. Матрицей смежности графа 𝐺 называют квадратную матрицу 𝐴(𝐺) размера 𝑚 × 𝑚, в которой элемент 𝑎_ij, стоящий на пересечении 𝑖 -й строки и 𝑗 -го столбца, равен числу ребер, соединяющих вершины с номерами 𝑖,𝑗, причем при 𝑖 = 𝑗 каждая петля учитывается дважды.

Матрица смежности определяет граф с точностью до изоморфизма: графы, имеющие одинаковые матрицы смежности, изоморфны друг другу.

Опр. Матрицей инцидентности графа 𝐺 называют матрицу 𝐵(𝐺) размера 𝑚 × 𝑛, элементы которой 𝑏_ij определяются следующими условиями:

1) 𝑏_ij = 1, если вершина с номером 1 инцидентна ребру с номером j и j-е ребро - не петля;

2) 𝑏_ij = 0 во всех остальных случаях.

Подграф.

Пусть 𝐺 = (𝑉, 𝐸) - граф и ⊂ 𝑉, ⊂ 𝐸. Если подмножества и , таковы, что концы любого ребра из принадлежат множеству , то граф = ( , ) называется подграфом графа 𝐺.

В число подграфов графа 𝐺 будем включать пустой подграф и обозначать его ∅.

Пусть - подмножество множества вершин графа 𝐺 = (𝑉, 𝐸). Включим в множество все ребра графа 𝐺, концы которых принадлежат . Подграф = ( , ) графа 𝐺 = (𝑉, 𝐸) назовем подграфом, порожденным множеством .

Операции над графами: объединение, пересечение, декартово произведение.

Пусть 𝐻₁ = (𝑉₁,𝐸₁) и 𝐻₂ = (𝑉₂, 𝐸₂)- подграфы графа 𝐺 = (𝑉, 𝐸).

Пересечением графов 𝐻₁ и 𝐻₂ называется граф 𝐻₁ ∩ 𝐻₂ = (𝑉₁ ∩ 𝑉₂, 𝐸₁ ∩ 𝐸₂), т.е. граф, множества вершин и ребер которого являются пересечением соответствующих множеств графов 𝐻₁ и 𝐻₂. Объединением графов 𝐻₁ и 𝐻₂ называется граф 𝐻₁ ∪ 𝐻₂ = (𝑉₁ ∪ 𝑉2, 𝐸₁ ∪ 𝐸₂), т.е. граф, множества вершин и ребер которого являются объединением соответствующих множеств графов 𝐻₁ и 𝐻₂. Аналогично определяется пересечение и объединение любого конечного числа подграфов.

Назовем декартовым произведением графов 𝐺₁ = (𝑉₁, 𝐸₁) и 𝐺₂ = (𝑉₂, 𝐸₂) граф 𝐺₁ × 𝐺₂, вершинами которого являются упорядоченные пары вида (𝑣, 𝑢), где 𝑣 ∈ 𝑉₁, 𝑢 ∈ 𝑉₂, и в котором вершины (𝑣₁, 𝑢₁) и (𝑣₂, 𝑢₂) смежные в точности в одном из двух случаев: 1) 𝑣₁ и 𝑣₂ - смежные вершины в графе 𝐺₁, а 𝑢₁ = 𝑢₂; 2) 𝑢₁ и 𝑢₂ - смежные вершины в графе 𝐺₂, а 𝑣₁ = 𝑣₂.