Таким образом, разностное отношение равно угловому коэффициенту секущей. Если зафиксировать точку A и двигать по направлению к ней точку B, то неограниченно уменьшается и приближается к 0, а секущая АВ приближается к касательной АС. Следовательно, предел разностного отношения равен угловому коэффициенту касательной в точке A. Отсюда следует: производная функции в т очке есть угловой коэффициент касательной к графику этой функции в

этой точке.В этом и состоит геометрический смысл производной.

23. Таблица производных

35

24. Правила дифференцирования

1.​ Производная суммы равна сумме производных.

2.​ Производная суммы нескольких функций равна сумме производных этих функций.

3.​ Производная разности равна разности производных.

4.​ Постоянный множитель можно вынести за знак производной. 5.​ Производная произведения равна произведению первого

множителя на второй плюс первый множитель, умноженный на производную второго.

25. Производные высших порядков

Пусть y=f(x) дифференцируемая функция, а её производная тоже дифференцируемая. Тогда производная - называется второй

производной(производной второго порядка) или

36

Свойства производных высших порядков

1.Линейность: производная высшего порядка линейна по отношению к функции. Это означает, что если f(x) и g(x) – функции, а a и b – константы, то производная высшего порядка от суммы a*f(x) + b*g(x) равна a*f”(x) + b*g”(x).

2.Правило Лейбница: производная высшего порядка произведения двух функций равна сумме произведений производных высших порядков этих функций. Формально, если f(x) и g(x) – функции, то (f*g)”(x) = f”(x)*g(x) +

2*f'(x)*g'(x) + f(x)*g”(x).

3. Правило дифференцирования сложной функции: производная высшего порядка сложной функции равна произведению производных высших порядков внутренней и внешней функций, умноженных на производные нижних порядков внутренней и внешней функций соответственно. Формально, если y = f(g(x)), то y”(x) = f”(g(x))*g'(x)^2 + f'(g(x))*g”(x).

37

4.Симметрия: производные высших порядков симметричны относительно порядка производной. Это означает, что f”(x) = f”(-x), f”'(x) = -f”'(-x) и так далее.

5.Производная высшего порядка от постоянной функции равна нулю. Это означает, что если f(x) = c, где c – константа, то f”(x) = 0, f”'(x) = 0 и так далее.

Эти свойства производных высших порядков помогают нам анализировать и

решать задачи, связанные с изменением функций и их скоростью изменения.

26. Дифференциал

-главная линейная часть приращения функции относительно Δx, равная произведению производной функции на приращение независимой переменной .

Геометрическая иллюстрация

38