13. Интегрирование, таблица неопределенных интегралов

Неопределенным интегралом функции f(х) на отрезке [a, b] называется множество всех первообразных функций F(x) +С и обозначается символом:

∫ f(х) dx = ∫d F(x) = F(x) + С,

f(х) – подынтегральная функция,

x – переменная интегрирования,

f(x) dx – подынтегральное выражение,

Интегрирование функции – операция нахождения неопределенного интеграла от функции.

Основная задача интегрирования – найти первообразную F(x)

18

19

14. Свойства неопределенных интегралов

1. Дифференциал от неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению, а производная неопределенного интеграла равна подынтегральной функции:

d(∫f(x) dx) = f(x) dx, (∫f(x) dx)’ = f(x).

Благодаря этому свойству правильность интегрирования проверяется

дифференцированием. Например, равенство

∫ (Зх2 + 4) dx = х3 + 4х + С верно, т.к. (х3 + 4х + С)’ = 3х2+4.

2. Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла:

3. Неопределенный интеграл от алгебраической суммы конечного числа непрерывных функций равен алгебраической сумме интегралов от слагаемых функций:

∫(f(x) ± g(x)) dx = ∫f(x) dx ± ∫g(x) dx.

4. Неопределенный интеграл от дифференциала некоторой функции равен сумме этой функции и произвольной постоянной:

dF(x) = F(x) + С.

Действительно, ∫dF(x) = ∫F’(x) dx = ∫f(x) dx = F(x) +С.

5. Формула d(F(u)) = f(u)du = F(u) + C для неопределенного интеграла

остается справедливой независимо от того, является ли переменная интегрирования независимой переменной или любой функцией от нее, имеющей непрерывную производную.

20

15. Определенный интеграл, геометрический смысл

Если функция у = f(x) непрерывна или кусочно-непрерывна на отрезке [а; b], то существует определённый интеграл от функции у = f(x) по отрезку [а; b]:

∫ ( )

Число а - нижний предел интегрирования; число b - верхний предел интегрирования; [a; b] - отрезок интегрирования.

Вычисляется определённый интеграл по формуле Ньютона-Лейбница:

F(x) - первообразная функция.

Геометрический смысл определённого интеграла

Определенный интеграл от неотрицательной, функции – численно равен площади криволинейной, трапеции.

Определённый интеграл равен площади криволинейной трапеции, ограниченной осью Ох, прямыми х = а, х = b и графиком функции у = f(x), непрерывной на отрезке [a; b] (функция y = f(x) не меняет знак на этом

промежутке).

21