Рис. 1.3 Предел функции при 
При вычислении пределов часто используется понятие эквивалентности бесконечно малых величин.
Определение. Пусть 
- бесконечно малые функции. Если
, то 
называются эквивалентными 
8. Теоремы о пределах
Этот пункт посвящен основным свойствам пределов функций, которые
позволяют вычислять пределы функций, определяемых алгебраическими
действиями над переменной. В приводимых
имеют общую область определения, содержащую точку
и обладают конечными пределами в этой точке.
Теорема 1.1. Предел суммы двух функций равен сумме их пределов.
Теорема 1.2. Предел произведения двух функций равен произведению их пределов
Следствие. Постоянный множитель можно выносить за знак предела.
Теорема 1.3. Предел отношения двух функций равен отношению пределов этих функций, если предел знаменателя отличен от 0.
10
Теорема 1.4. Предел положительной функции не отрицателен. Эти утверждения справедливы и при x, стремящемся к 
Пример 1. Найти 
Решение. Применяя теоремы о пределах (теорема 1.1) и заменяя в
аналитическом выражении x его предельным значением, получаем
9. Первый замечательный предел (вывод)
Если в случае применения основных теорем о пределах функции возникают выражения вида
которые носят название неопределенностей, то для получения ответа (так называемые раскрытия неопределенности) применяются специальные методы.
Для решения примеров используются следующий предел
Для решения примеров используются следующий предел, который называются
первым замечательным пределом соответственно.
Доказательство. Заметим, что отношение 
представляет собой четную функцию. Поэтому при анализе поведения этой функции можно ограничиться областью малых положительных значений аргумента x.
Пусть x – центральный угол окружности единичного радиуса, выраженный в радианах. Сравним между собой площади фигур, показанных на рисунке 1. Рис.1. Равнобедренный треугольник AOB, круговой сектор AOB и прямоугольный треугольник AOC.
11
Очевидно, что для всех 
выполняется неравенство 
Представим tg x в виде отношения sin x к cos x и разделим обе части этого двойного неравенства на sin x. Тогда неравенство
влечет за собой 
Поскольку 
при x → 0 , то и 
Графическая иллюстрации теоремы 1 представлена на рисунке
Прямая y = x является касательной к графику функции |
в точке x |
= 0. Поэтому sin x ≈ x в окрестности нуля. |
|
12
10. Второй замечательный предел (пример)
Второй замечательный предел записывается так (неопределенность вида 1∞): (Важно, чтобы функция стремилась к бесконечности)
Пример решения:
13