тут на картинке №3 это график косинуса

квадратичная y= ax^2 + bx +c

4. Рациональная функция

Рациональными называются алгебраические функции, которые не содержат аргумент

под знаком радикала (корня).

Рациональные функции разделяются на целые рациональные функции

(многочлены) и дробные рациональные функции (отношения многочленов).

Примеры целых рациональных функций: y=kx+b (линейная), y=ax2+bx+c (квадратичная), y=a0+a1x+a2x2+... +anxn (многочлен степени n)

Примеры дробно-рациональных функций: y= 1/x (обратная пропорциональность), y= (ax+b)/(cx+d) (дробно-линейная)

Рациональные функции могут содержать и иррациональные коэффициенты (главное, чтобы под знаком радикала не было аргумента функции). Например, y=√2 × х3 + х - 3 – целая рациональная функция, а не иррациональная.

4

5. Последовательности

Последовательность.

6. Предел последоват. э ельности

Предел последовательности.

5

6

​

7. Предел функции в точке

Теория пределов играет основополагающую роль в математическом анализе. С ее помощью устанавливаются такие свойства функции, как непрерывность, дифференцируемость, интегрируемость и т. д.

Рассмотрим пример. Пусть задана функция определенная для всех

x, кроме x = 1. Исследуем поведение функции при значениях x, мало отличающихся от 1. Для этого составим таблицу значений функции в интересующем нас интервале

(табл. 1.1).

Мы видим, что чем ближе x приближается к 1, тем значения f (x) ближе к 2. В подобных случаях говорят, что число 2 является пределом функции f (x) при x, стремящимся к 1

(или более кратко:

при x → 1

Дадим теперь строгое определение предела функции.

Определение. Пусть функция f (x) определена в некоторой окрестности точки кроме, может быть, самой точки Число b называется пределом функции в точке

если для любого положительного как бы мало оно не

7

было, выполняется неравенство для всех из некоторой

окрестности точки. Записывают так:

Геометрический смысл этого определения: для любой -окрестности точки b (рис. 1) существует некоторая окрестность точки например, δ-окрестность), такая что для всех из этой окрестности соответствующие точки графика f

(x) лежат внутри полосы шириной 2 ограниченной прямыми y = b + y = b -

Аналогично определяется и записывается предел функции справа:

если когда оставаясь больше Пределы функции слева и справа называются односторонними (рис. 1.2).

Очевидно, что если существует то оба односторонних предела

также существуют и равны b.

Справедливо и обратное утверждение: если существуют односторонние пределы, оба равные b, то

Если же односторонние пределы не равны между собой то

не существует.

Если функция y = f (x) определена в промежутке , то можно определить предел функции при

8

Рис. 1.2. Иллюстрация к определению односторонних пределов Определение. Число b называется пределом функции при (т. е

, если для любого сколь угодно малого и всех достаточно больших x выполняется неравенство

На рис. 1.3 значения функции f (x) при всех x > попадают в -окрестность точки b.

Аналогично определяется предел функции при

Если пределы функции f (x) при и существуют и равны,

скажем, A, то говорят, что f (x) имеет предел A при и пишут

В данных ранее определениях пределов предполагалось, что они конечны. В

случае, если функция f (x) неограниченно возрастает или убывает при x -

говорят, что предел f (x) равен бесконечности

Среди функций, имеющих пределы (в точке или на )выделяют класс

функций, имеющих предел, равный 0. Такие функции называются бесконечно малыми функциями (бесконечно малыми величинами) и обозначаются буквами

и т.д.

9