27.Применение дифференциала для приближенных вычислений

ФОРМУЛА y(X0+Δx) ≈y(X0)+y’(X0)*Δx

ПРИМЕР

39

28. Теоремы о дифференцируемых функциях

1.Теорема Ролля

Пусть функция y=f(x) непрерывна на отрезке [a ,b] и дифференцируемая на интервале (a , b) и f(a)=f(b)=0. Тогда ее производная f’(x) обращается в 0 хотя бы в любой точке X0

40

2.Теорема Лагранжа

Пусть функция y=f(x) непрерывна на отрезке [a ,b] и дифференцируемая на интервале (a , b) и f(a)=f(b)=0. Тогда существует хотя бы одна точка X0 , принадлежащая интервалу (a, b) = X0 (a , b)

Условие : f(b)-f(a)/(b-a)=f’(X0)

3.Теорема Коши

Если функции f(x) и g(x) непрерывны на отрезке [a , b] и дифференцируемы на интервале (a , b), то существует точка X0 (X0 (a , b))

41

, такая что

f(b)-f(a) / g(b)-g(a) = f’(X0)/g’(X0)

4.Теорема Лопиталя

Условия :

Это позволяет раскрыть неопределенности : [0/0] и [∞/∞] Дифференцировать можно несколько раз

29.Дифференциальные уравнения первого порядка.

​Порядок – старшая производная. От порядка зависит количество

​ Дифференциальные уравнения первого порядка —

дифференциальные уравнения, которые имеют вид F(x,y,y')=0

( x,y – необязательно; y' – обязательно). Если представить это уравнение в виде y’=f(x,y) , то оно будет называться разрешенное относительно y’

​Общим решением уравнения является функция φ=f(x,с) , а не число.

Если с известно, то решение – интегральная кривая. Если с неизвестно, то решение – семейство интегральных кривых ( сикгеометрический смысл общего решения) .

42

30. Дифференциальные уравнения с разделяющимися

переменными.

Дифференциальное уравнение с разделяющимися переменнымиесли функции M(x,y) и N(x,y), входящие в уравнение представляют собой произведение функций из зависящий только от одной переменной, то есть

M(x,y) = M1(x) * M2(y) и N(x,y) = N1(x) * N2(y). Тогда уравнение перепишется как

M1(x) * M2(y) * dx + N1(x) * N2(y) * dy = 0 ​ Если избавиться от функций, которые мешают интегрированию, то уравнение примет вид

M1(x) * dx / N1(x) + N2(y) * dy / M2(y) = 0 и будет называться уравнение с разделенными переменными.

Условия, запрещающие интегрирование

1)​ Y’=dy/dx ( производную необходимо представить как отношение дифференциалов)

2)​ /dx | *dx ( нужно избавиться от деления на dx)

3)​ xdy | *1/x ( интегрирование х только по dx)

Промер решения

Y’= 2 √y *ln(x)

∫dy/dx = ∫ 2 √y *ln(x) | *dx

∫dy = ∫ 2 √y *ln(x) *dx

2 √y= 2( x*ln(x) – ∫x *dx/x)

Y= (x*ln(x)-x +c)2

43