|
Критерій стійкості Найквіста |
|
План |
1 |
Критерій стійкості Найквіста |
2 |
Годограф Найквіста стійкої системи |
3 |
Годограф Найквіста нестійкої системи |
4 |
Дослідження стійкості за критерієм Найквіста |
КРИТЕРІЙ СТІЙКОСТІ НАЙКВІСТА
•Для дослідження стійкості за критерієм Найквіста використовується передаточна функція розімкнутої системи:
W(s) QR((ss)) WD (s)WB (s)WO (s)
•При підстановці s=j отримаємо частотну передаточну функцію розімкнутої системи:
W( j ) R( j ) A( )e j ( ) U( ) jV( )
Q( j )
де U( ) і V( ) – відповідно дійсна і уявна частини частотної передаточної функції.
Годограф Найквіста
Частотну передаточну функцію W j можна представити графічно на комплексній площині. Цей графік називають АФЧХ розімкнутої системи.
•АФЧХ являє собою криву, яку описує кінець вектора W j на комплексній площині при зміні частоти вхідного сигналу від нуля до нескінченності.
•АФЧХ розімкнутої системи при зміні частоти від 0 до називають годографом Найквіста
КРИТЕРІЙ СТІЙКОСТІ НАЙКВІСТА
•Годограф Найквіста стійкої системи при зміні частоти від 0 до не повинен охоплювати точку з координатами (-1, j0), на рисунку крива а).
•Якщо годограф Найквіста охоплює точку з координатами
(-1, j0), то необхідно знати число коренів характеристичного рівняння у правій площині (число коренів з додатною
дійсною частиною).
Критерій Найквіста в загальному вигляді
Для стійкості замкнутої системи необхідно і достатньо, щоб АФЧХ розімкнутої системи при зміні частоти від 0 до(годограф Найквіста) охоплювала точку з координатами
(-1, j0) l/2 разів, де l – число коренів характеристичного рівняння розімкнутої системи в правій півплощині.
Годограф Найквіста стійкої (а), умовно стійкої (б), системи на границі стійкості (в) та нестійкої системи (г)
а |
V |
в |
V |
|
|
|
|||
|
|
|
||
-1 |
|
U |
|
U |
|
0 = |
-1 |
|
|
|
=0 |
= |
=0 |
|
|
|
0 |
|
|
|
г |
|
|
б |
V |
|
|
V |
|
-1 |
|
U |
-1 |
|
U |
|
0 = |
=0 |
|
0 = |
=0 |
КРИТЕРІЙ СТІЙКОСТІ НАЙКВІСТА
•Перевагою критерію Найквіста є можливість використання для визначення стійкості експериментальних частотних характеристик.
•Практична перевага критерію Найквіста полягає також у тому, що він може застосовуватися при використанні логарифмічних частотних характеристик системи.
•Недоліком критерію Найквіста є необхідність знання того, чи є в знаменнику передаточної функції розімкнутої системи корені, що лежать у правій півплощині, і скільки є таких коренів.
Годограф Найквіста системи 3 порядку
•Для системи 3 порядку частотна передаточна функція розімкнутої системи має вигляд:
•Розкриємо дужки у знаменнику передаточної функції врахувавши, що j2=-1, a j3=- j:
W ( j ) 1/(a3 ( j )3 a2 ( j )2 a1 ( j ) 1).
W ( j ) |
|
1 |
|
|
|
||||
(1 a 2 ) (a j a j 3 ). |
|
|||
|
2 |
1 |
3 |
|
Дійсна і уявна частини W(j )
•Розділимо вираз на дійсну і уявну частини, використовуючи формулу:
•Для цого домножимо чисельник і знаменника2 W(jв2) на вираз,(а jвкомплексно)(а jв) спряжений знаменнику:
• Звідси отримаємо: |
|
(1 a 2 ) (a j a j 3 ). |
|||||
W ( j ) |
|||||||
2 |
1 |
3 |
|
|
|||
(1 a 2 )2 (a a 3 )2 . |
|
||||||
|
|
2 |
1 |
3 |
|
|
|
Re( ) |
|
(1 a 2 ) |
|
|
|
||
(1 a 2 )2 |
(a a 3 )2 . |
||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
2 |
1 |
3 |
|
|
|
Im( ) |
|
(a a 3 ) |
|
|
|
||
(1 a 2 )2 |
(a a 3 )2 . |
||||||
|
|
1 |
3 |
|
|
|
|
|
|
2 |
1 |
3 |
|
|
|
Годограф Найквіста
Змініюючи частоту від 0 до за отриманими формулами розрахуємо таблицю значень Re( ), Im( ) і побудуємо годограф Годограф Найквіста:
Im( ) |
|
|
-1 |
Re( ) |
|
0 = |
||
=0 |
ПРИКЛАД
•Дослідити стійкість системи, якщо частотна передаточна функція розімкнутої системи має вигляд:
де а3=2, а2=3, а1=5.
• Розкриємо дужки у знаменнику передаточної функції врахувавши, що j2=-1, a j3=-j:
W ( j ) 1/(2( j )3 3( j )2 5( j ) 1),
W ( j ) |
1 |
|
|
||
(1 3 2 ) (5 j 2 j 3 ). |
|
|
Дійсна і уявна частини W(j )
•Розділимо вираз на дійсну і уявну частини. Для цого домножимо чисельник і знаменник W(j ) на вираз, комплексно спряжений знаменнику:
•Звідси отримаємо:
W ( j ) (1 3 2 ) (5 j 2 j 3 ) (1 3 2 )2 (5 2 3 )2 .
Re( ) |
|
(1 3 2 ) |
||
(1 3 2 )2 (5 j 2 j 3 )2 . |
|
|||
Im( ) |
(5 2 3 ) |
|||
(1 3 2 )2 (5 2 3 )2 . |
|
|||