Критерій стійкості системи автоматичного керування

КРИТЕРІЙ СТІЙКОСТІ ГУРВІЦА

•Для дослідження стійкості за критерієм Гурвіца використовується характеристичне рівняння системи: anrn an 1rn 1 ... a1r a0 0,

•де аn – коефіцієнти диференціального рівняння системи, r- змінна.

•За характеристичним рівнянням складають матрицю коефіцієнтів аn, яка містить n рядків і n стовпців,

де n – порядок характеристичного рівняння.

•Цю матрицю коефіцієнтів називають визначником Гурвіца.

Порядок складання визначника ГУРВІЦА

Упершому рядку визначника пишуть коефіцієнти характеристичного рівняння з парними індексами від аn до а0.

Удругому рядку пишуть коефіцієнти з непарними індексами від аn-1 до а1.

Кожен рядок доповнюють рівними нулю коефіцієнтами так, щоб кількість елементів у рядках була рівною n.

У третьому і четвертому рядках записують перші елементи рівними нулю, а інші елементи – рівними елементам першого і другого рядків відповідно.

Запис продовжують доти, поки кількість рядків не стане рівною n. Для системи 3 порядку визначник Гурвіца запишеться так:

a2 a0 0

3 a3 a1 0

0 a2 a0

Критерій Гурвіца

За критерієм Гурвіца для того, щоб система була стійкою необхідно і достатньо, щоб усі n діагональних мінорів і визначник Гурвіца були додатними при додатних коефіцієнтах характеристичного рівняння.

•Обчислюють діагональні мінори і визначник Гурвіца для системи 3 порядку за таким правилом:

•

Приклад

•Досідити стійкість системи, якщо характеристичне рівняння має вигляд:

2r3 3r2 5r 1 0.

• Складаємо визначник Гурвіца:

3 1 0

3 2 5 0 0 3 1

Приклад

Обчислюємо діагональні мінори і визначник Гурвіца:

1 a2 3 0.

Висновок

•Коефіцієнти характеристичного рівняння додатні.

•Діагональні мінори визначника Гурвіца додатні.

•Визначник Гурвіца додатний.

•Система є стійкою.