Практика 16
..pdf
Практика 16
МНОГОЧЛЕНЫ
Пример 1.
Найти неполное частное q(x) и остаток r(x) от деления многочлена
f x x4 2x3 |
x2 2x 3 |
на многочлен g(x) x2 x 2. |
|
|
||||
Решение. |
|
|
|
|
|
|
|
|
Разделим |
многочлен |
f x x4 2x3 x2 2x 3 |
на |
многочлен |
||||
g(x) x2 x 2 «столбиком»: |
|
|
|
|
||||
_ x4 2x3 x2 2x 3 |
|
x2 x 2 |
|
|
||||
|
|
|
||||||
x4 x3 2x2 |
|
x2 x 2 |
|
|
|
|||
_ x3 3x2 2x 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
x3 x2 2x |
|
|
|
|
|
|
|
|
_ 2x2 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2x2 2x 4
2x 7
Деление прекращаем в тот момент, когда степень остатка становится мень-
ше степени делителя, т.е. deg 2x 7 deg x2 |
x 2 . Тогда |
q x x2 x 2 и |
r(x) 2x 7. |
|
|
Пример 2. |
|
|
С помощью схемы Горнера найти неполное частное q(x) |
и остаток r(x) от |
|
деления многочлена f x x5 x3 x2 2x 3 |
на многочлен g(x) x 2. |
|
1
Решение.
Разделим многочлен Pn(z) a0zn a1zn 1 an на одночлен z c с ос-
татком. Тогда Pn(z) z c b0zn 1 b1zn 2 bn 1 bn , где коэффициенты не-
полного частного и остаток находятся по формулам: b0 a0, bi cbi 1 ai.
Заполним таблицу следующим образом: в первой строке выпишем коэффи-
циенты многочлена f x x5 x3 x2 2x 3 в порядке убывания степеней (ко-
эффициент при x4 равен 0), элементы второй строки найдем, используя формулы
b0 a0, bi c bi 1 ai :
|
|
|
|
|
|
1 |
|
0 |
|
–1 |
|
|
1 |
|
–2 |
|
3 |
|
|
|
|||
|
|
|
x 2 |
|
|
1 |
|
2 |
|
3 |
|
|
7 |
12 |
|
27 |
|
|
|
||||
Тогда f x x 2 x4 |
2x3 3x2 |
7x 12 27, |
откуда неполное частное |
||||||||||||||||||||
q x x4 2x3 3x2 7x 12 |
и остаток r(x) 27. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
Пример 3. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Найти |
кратность |
корня |
|
|
x 2 |
многочлена |
|||||||||||||||||
f x x5 7x4 16x3 8x2 16x 16. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
Решение. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Воспользуемся схемой Горнера: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
7 |
|
16 |
|
|
8 |
|
–16 |
|
|
–16 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
x 2 |
|
1 |
|
5 |
|
|
6 |
|
|
–4 |
|
–8 |
|
0 |
|
|
|
||||
В последней |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
многочлена |
|||||||||
|
графе |
|
получили |
0, |
это |
остаток |
от деления |
||||||||||||||||
f x x5 7x4 16x3 8x2 |
16x 16 |
на |
многочлен x 2 . Разделим частное |
||||||||||||||||||||
q x x4 5x3 6x2 4x 8 на x 2 : |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
7 |
|
16 |
|
|
8 |
|
–16 |
|
|
–16 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
x 2 |
|
1 |
|
5 |
|
6 |
|
|
–4 |
|
–8 |
|
0 |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
x 2 |
|
1 |
|
3 |
|
0 |
|
|
–4 |
0 |
|
|
|
|
|
|
||||
Снова получили остаток r(x) 0. Продолжим деление на многочлен x 2
до тех пор, пока не получим остаток, отличный от нуля.
2
|
|
1 |
|
7 |
|
16 |
|
8 |
–16 |
–16 |
|
|
x 2 |
1 |
|
5 |
|
6 |
|
–4 |
–8 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 2 |
1 |
|
3 |
|
0 |
|
–4 |
0 |
|
|
|
x 2 |
1 |
|
1 |
|
–2 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 2 |
1 |
|
–1 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
x 2 |
1 |
|
–3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x5 |
7x4 16x3 8x2 16x 16 делится без |
|||||
Таким образом многочлен |
f x |
||||||||||
остатка на многочлен x 2 4 (то есть |
f x x 2 4 x 1 ) и не делится на мно- |
||||||||||
гочлен x 2 5 . Значит, кратность корня x 2 равна 4.
Пример 4.
Разложить многочлен f x x4 4 на множители над полем , .
Решение.
Над полем неприводимыми являются многочлены первой степени и мно-
гочлены второй степени с отрицательным дискриминантом, поэтому многочлен f x x4 4 приводим над , и, следовательно, приводим над .
Чтобы разложить многочлен на множители воспользуемся методом выделе-
ния полного квадрата :
f x x4 4x2 4 4x2 x2 2 2 4x2 x2 2x 2 x2 2x 2 .
Найдем корни полученных многочленов второй степени:
x2 2x 2 0, |
x |
1 i; |
|
1,2 |
|
x2 2x 2 0, |
x |
1 i. |
|
3,4 |
|
Итак, разложение на множители над полем :
f x x2 2x 2 x2 2x 2 ;
разложение на множители над полем :
f x x 1 i x 1 i x 1 i x 1 i .
3
Пример 5.
Разложить на множители с действительными коэффициентами многочлен
f z z4 4z3 11z2 14z 10, если известен один из его корней z1 1 i.
Решение.
Воспользуемся следующей теоремой:
Если число i является корнем многочлена f (x) с действитель-
ными коэффициентами, то число i также является корнем многочле-
на f (x), причем кратности этих корней равны. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
Так |
как |
число |
|
z1 1 i |
является |
корнем |
многочлена |
|||||||||||
f z z4 4z3 11z2 |
14z 10, |
|
то z2 1 i |
также является корнем |
f (x). Вос- |
|||||||||||||
пользуемся схемой Горнера: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
1 |
|
4 |
|
|
11 |
|
|
14 |
|
|
10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z 1 i |
|
|
1 |
|
3 i |
|
|
7 2i |
|
|
5 5i |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z 1 i |
|
|
1 |
|
2 |
|
|
|
5 |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
Тогда |
f z z 1 i z 1 i z2 |
2z 5 . |
|
|
|
|
|
|||||||||||
Найдем корни многочлена z2 2z 5: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
z2 2z 5 0, |
z |
1 2i. |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3,4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Получили комплексные корни, поэтому многочлен z2 2z 5 неприводим
над полем .
|
Рассмотрим произведение z 1 i z 1 i z2 2z 2, поэтому разложе- |
||||
ние на множители с действительными коэффициентами многочлена |
f z имеет |
||||
вид: |
f z z2 2z 2 z2 2z 5 . |
|
|
|
|
|
Примеры для самостоятельного решения |
|
|
|
|
1). |
Найти неполное частное q(x) и |
остаток |
r(x) |
от деления |
многочлена |
f x x5 12x4 x2 2x 1 на многочлен |
g(x) x3 |
x2 |
x 2. |
|
|
4
Ответ. q x x2 13x 12, r(x) 12x 23.
2). |
С помощью схемы Горнера найти неполное частное q(x) и остаток r(x) от |
||
деления многочлена f x x4 2x3 x2 |
2x 3 на многочлен g(x) x 2. |
|
|
|
Ответ. q x x3 4x2 9x 20, |
r(x) 43. |
|
3). |
Разложить многочлен f x x4 x2 2 на множители над полем , |
. |
|
4). |
Разложить на множители с действительными коэффициентами многочлен |
||
f z z4 4z3 9z2 4z 8, если известен один из его корней z i. |
|
||
|
|
1 |
|
5