Лекция 16

МНОЖИТЕЛИ

Рассмотрим

рациональную

функцию

(многочлен

степени

n )

P (z)

a

0

z n

a

1

z n 1

a

n

(a

0

0).

Независимое переменное z

и коэффи-

n

циенты a0,a1,

,an

могут принимать как действительные,

так и комплексные

значения. Если Pn (z0 )

0,

то число z0

называется корнем или нулем

много-

члена.

Отметим, не доказывая, ряд утверждений.

Утверждение 1. Если z0

есть корень многочлена Pn (z) ,

то Pn (z)

делится

на (z z0 ) .

Пример 4.4. Проверить, что z

1 является корнем многочлена

P (z)

z3

z 2

3z

5 и найти другие корни многочлена.

3

Решение.

Так как

P3(1)

1

1

3

5

0,

то

z 1 является корнем много-

члена P3(z)

и многочлен P3 (z)

делится на z

1 без остатка. Деление много-

членов выполняется аналогично делению чисел.

z3

z 2

3z

5

| z

1

z3

z 2

z 2

2z

5

2z 2

3z

P (z) (z 1) (z 2

2 z 5).

2z 2

2z

3

5z

5

5z

5

0

Для

отыскания

других

корней

многочлена

решим

уравнение

z2

2 z 5

0 :

z

2i.

Итак, многочлен P (z)

z3

z 2

3z

1

1

5

1

5

3

1

имеет один действительный корень z 1

1 и два комплексно-сопряженных кор-

ня z2

1 2i , z3

1 2i.

Утверждение 2. Всякий многочлен n -й степени имеет в поле

ровно n

корней, если каждый корень учитывать столько раз, какова его кратность.

Замечание. Разложение на множители имеет вид:

P (z)

a

0

z n

a

1

z n 1

a

n

=a

0

z - z

z - z

2

... z - z

n

,

(a

0

0) ,

где

n

1

числа

z1,

, zn являются корнями многочлена Pn (z) . Заметим, что среди этих

P (z)

a

0

z z

S1

z

z

2

S2

z

z

k

Sk , ãäå

s

s

2

s

k

n.

(7.1)

n

1

1

В этом случае корень z1

называется корнем кратности s1 ,

z2

− корнем

кратности s2 и т.д.

Пример 7.1. Найти корни многочлена P4 (z) и их кратности, если

P (z) (z 2

1) (z 2

4z 3).

4

Решение.

Решив

уравнение

z2

4z

3 0 ,

найдем

его

корни

z1

1, z2

3.

Поэтому z2

4 z

3

(z

1) (z

3) .

Учитывая, что z 2

1

(z

1)

(z

1) ,

получим:

P (z)

(z 2

1)(z 2

4z

3)

z

1

z

1

z

3

z 1

(z

1)2(z

1)(z 3).

4

Следовательно,

z

1 есть корень кратности 2

для многочлена

P4 (z) , а

z

1 и z

3 есть корни кратности 1 (их еще называют простыми корнями).

Пример 7.2. Найти корни многочлена

P (z)

z6

2 z3

1

и разложить

6

его на множители.

Решение.

Сначала удобно разложить многочлен на линейные и квадрат-

ные множители:

z6

2 z3

1

(z3

1)2

(z

1)2

(z2

z

1)2.

2

Отсюда один корень многочлена z1

1, два других корня найдем из

уравнения z 2

z

1 0.

Получим z2,3

1

1

4

1

i

3

.

Тогда разложение многочлена

2

2

будет иметь вид

P (z)

z6

2z3

1

z

z

2

z

z

2

2

z

z

3

2 .

6

1

Многочлен P6 (z)

имеет три корня кратности 2:

z

z1,

z

z2 ,

z z3

(т.е. шесть корней с учетом их кратности).

В дальнейшем при интегрировании будут использованы следующие утвер-

ждения.

Утверждение 3. Если многочлен P (z)

a

0

z n

a z n

1

a

n

тождест-

n

1

венно равен нулю, то все его коэффициенты равны нулю.

Утверждение 4. Если два многочлена тождественно равны, то их коэф-

фициенты при одинаковых степенях z равны между собой.

Действительно, если многочлен в равенстве (7.1) тождественно равен ну-

лю, то он равен нулю и при z , отличном от z1, z2,

, zn . Но тогда выражения в

скобках не равны нулю и, следовательно, a0

0. Аналогично доказывается, что

a

1

0, a

0,...,a

n

0.

Если два многочлена

P (z)

a

0

z n

a z n

1

a

n

и

2

n

1

Q (z)

b z n

b z n

1

b тождественно равны между собой, то

n

0

1

n

P (z)

Q

n

(z)

0,

т.е.

a

b

z n

a

b

z n 1

a

n

b

0. Тогда

n

0

0

1

1

n

a0

b0

0,

a1

b1

0,

, an

bn

0

или a0

b0 , a1

b1,

,an

bn.

Особый интерес в дальнейшем (например, при интегрировании) будут

представлять многочлены с действительными коэффициентами.

Утверждение 5. Если многочлен Pn (z)

с действительными коэффици-

ентами имеет комплексный корень z0

i

кратности k , то он имеет и

комплексно-сопряженный корень z0

i

той же кратности.

раскладывается на линейные множители вида (z

a) и квадратные мно-

жители вида (z2

pz

q) , все с действительными коэффициентами.

Действительно, как отмечалось в п. 4.2, значения многочлена в точке z0 и

в точке z0

будут комплексно-сопряженными, т.е. Pn (

i

) Pn ( i

).

Так как

i − корень многочлена, то Pn (

i )

0.

Тогда и Pn (

0, т.е.

i

− корень многочлена.

i

)

Pn (

i )

0

Причем, если в разложение (7.1) множитель (z

z0 )

входит несколько раз, то и

множитель (z z0 ) будет встречаться столько же раз.

В разложении (7.1) оставим линейные множители вида (z

zi ) , где zi

−

действительное число, и объединим множители вида (z

zl )(z

zl ) , где zl −

комплексное число. Тогда

(z

zl )(z

zl )

z 2

z(zl

zl ) zl

zl .

Но zl

zl

(

i ) (

i ) 2

и zl

zl (

i )(

i )

2

2

являются действительными числами, обозначим их p и q . Тогда

(z zl )(z zl )

z 2

pz q,

P (z)

a z

z

S1

z z

S2

(z

z

r

)Sr

(z2

p z

q )k1

z2 p

j

z

q

k j , (4.9)

n

0

1

2

1

1

j

где s1

s2

sr

2k1

2k j

n .

Схема Горнера

Разделим многочлен

P (z)

a zn

a zn 1

a

на одночлен

z c

с

n

0

1

n

остатком. Тогда P (z) z

c b zn 1

b zn 2

b

b

, где коэффициен-

n

0

1

n 1

n

ты неполного частного и остаток находятся по формулам: b0

a0 , bi

cbi 1

ai .

a0

a1

a2

…

an

x c

b0

b1 cb0 a1

b2 cb1 a2

…

bn cbn 1 an