Практика 15
.pdf
Практика 15
ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА. ЛИНЕЙНАЯ ЗАВИСИМОСТЬ ВЕКТОРОВ
Пример 1.
Пусть V 5 – линейное пространство над полем . Выяснить, явля-
ется ли множество S a,b,c, d , f V | c a b d f линейным подпро-
странством пространства V .
Решение.
Воспользуемся критерием подпространства: непустое подмножест-
во M из L является подпространством в L тогда и только тогда, когда выполнены условия:
(1) x, y M |
x y M , |
|
|
|
|
|
||
(2) x M , |
P |
x M . |
|
|
|
|
|
|
Так как |
a,b,c, d , |
f V , то |
S V . Кроме того, |
S , так как |
||||
0,0,0,0,0 S . Проверим выполнение условий (1) и (2). |
|
|
|
|||||
Пусть |
x1 a1,b1,c1, d1, f1 S |
и |
x2 a2 ,b2 ,c2 |
, d2 , f2 S , |
тогда |
|||
c1 a1 b1 d1 f1 и c2 a2 b2 d2 f2 . |
|
|
|
|
||||
Найдем |
x1 x2 a1 a2 ,b1 b2 ,c1 |
c2 , d1 d2 , f1 |
f2 V . |
Тогда |
||||
a1 a2 b1 b2 d1 d2 f1 f2
a1 b1 d1 f1 a2 b2 d2 f2 c1 c2 , а значит, x1 x2 S .
Пусть и x a,b,c, d , f S , т.е. c a b d f .
Найдем x a,b,c, d , f a, b, c, d , f V . Покажем, что
x S : a b d f a b d f c .
1
Выполнены все условия теоремы, следовательно, множество
S a,b,c, d , f V | c a b d f является линейным подпространством
пространства 5 . |
|
|
|
Пример 2. |
|
|
|
Выяснить, |
будет ли |
система векторов a1 1, 1, 1, 2 |
a2 1, 2, 3, 1 |
a3 1, 0, 2, 3 , a4 |
1, 6, 4, |
2 линейно независимой. |
|
Решение.
Составим линейную комбинацию векторов и приравняем ее к нулевому
вектору: 1a 1 2a2 3a3 4a4 .
Запишем данное равенство в координатном виде:
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
1 |
1 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
0, |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
2 |
|
|
3 |
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
2 |
|
2 |
3 |
|
0 |
|
6 |
0 , |
откуда |
1 2 2 |
6 4 |
0, |
|
|
|
. |
|||||||||||||
1 |
1 |
|
3 |
|
|
2 |
4 4 |
0 |
|
|
3 |
2 |
2 |
3 |
|
4 |
4 |
0, |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
2 |
|
|
1 |
|
|
|
3 |
2 |
0 |
|
|
2 |
3 3 2 4 0. |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 2 |
|||||||||||||||||||||||||
Решим систему методом Гаусса: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
1 1 1 |
|
1 |
|
1 1 |
1 1 |
|
1 1 |
1 |
1 |
|
1 |
1 |
|
|
|
1 1 |
|
||||||||||||||||
|
|
2 0 |
|
|
|
|
|
3 |
1 |
|
|
|
1 |
1 |
|
|
|
0 |
1 |
|
|
1 |
|
4 |
|
|
|||||||
1 |
|
|
6 |
|
0 |
5 |
|
0 |
4 |
|
|
|
|
|
|
, |
|||||||||||||||||
1 3 2 |
|
4 |
0 2 |
1 5 |
0 0 |
3 |
13 |
|
0 |
0 |
|
|
|
1 |
13 |
3 |
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
2 1 3 |
|
2 |
|
0 |
1 |
1 4 |
|
0 |
1 |
4 |
21 |
|
|
0 |
0 |
|
|
|
0 |
|
1 |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
rg A 4 . Ранг матрицы системы равен числу неизвестных, значит, одно-
родная система имеет единственное решение: 1 2 |
3 4 |
0 . |
|
|||
Таким, образом, система векторов a1, a2 , a3 , a4 |
линейно независима. |
|||||
Пример 3. |
|
|
|
|
|
|
Пусть V 3 3 |
(множество матриц размера 3 3 с рациональными ко- |
|||||
эффициентами) |
– |
линейное |
пространство |
над |
полем |
, |
2
a |
b |
a |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
0 |
a |
b |
| a,b . Доказать, что множество S является линейным |
|
S |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
a |
||
|
|
||||
подпространством пространства V , найти его размерность и базис.
Решение.
Очевидно, что то S V и S . Покажем, что выполнены условия из критерия подпространства.
|
|
|
a1 |
b1 |
|
Пусть X |
1 |
|
|
0 |
a |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
0 |
0 |
|
|
|
|
||
a1
b1 S a1
|
|
|
a2 |
b2 |
a2 |
|
|
||
, X |
2 |
|
|
0 |
a |
2 |
b |
|
S и , тогда |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
||
|
|
|
|
0 |
0 |
a2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
a1 a2 |
|
b1 b2 |
a1 a2 |
|
|
|
|
|
|||||
X |
1 |
X |
2 |
|
|
0 |
|
|
a a |
2 |
b b |
S , так как |
a |
a |
2 |
и |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
2 |
|
1 |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a1 a2 |
|
|
|
|
|
|||
b1 b2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a1 |
|
b1 |
a1 |
|
|
|
|
|
|
Аналогично, |
X |
1 |
|
|
0 |
|
a |
b |
S , так как a , b . |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a1 |
|
|
|
|
|
||
Итак, S является линейным подпространством пространства V .
Найдем его базис и размерность.
|
|
a |
b |
a |
|
||
Рассмотрим произвольный вектор пространства S : |
X |
|
0 |
a |
b |
|
. Он |
|
|
||||||
|
|
|
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
a |
|
|||
зависит от параметров a,b .
3
|
|
|
|
|
|
|
1 |
0 |
1 |
|
|
|
|
|
При a 1, |
b 0 |
получим вектор A |
|
0 |
1 |
0 |
|
; при |
a 0, |
b 1– век- |
||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
0 |
1 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
тор A |
|
0 |
0 |
1 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Покажем, что векторы A1, A2 образуют базис.
Векторы A1, A2 – линейно независимы и любой вектор пространства
a |
b |
a |
|
|
|
|
|
S выражается через эти векторы, так как X |
0 |
a |
b |
aA bA . |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
|
|
|
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
||
Итак, A1, A2 – базис пространства S , поэтому dim S 2 . |
|
|
|
||||
Примеры для самостоятельного решения |
|
|
|
|
|
|
|
1). Является ли вещественными линейными пространствами: |
|
|
|||||
а) множество всех вещественных матриц второго порядка вида 0 |
a |
, где |
|||||
|
|
|
|
|
0 |
b |
|
a, b,с R ; |
|
|
|
|
|
|
|
б) множество всех вещественных матриц второго порядка вида 1 |
a |
, где |
|||||
|
|
|
|
|
2 |
b |
|
a, b,с R .
2). Выяснить, является ли данная система векторов из 4 линейно за-
висимой?
|
1, 1, 1, 2 , |
|
1, 0, 0, 2 , |
|
1, 1, 0, 2 , |
|
2, 2, 1, 4 |
a1 |
a2 |
a3 |
a4 |
4