Лекция 15

10. x, y L

x y y x (коммутативность);

20. x, y, z L x y z x y z

(ассоциативность);

30. L : x L

x x (существование нулевого элемента);

40. x L

! x L :

x x

(существование противоположного

элемента).

50. x L ,

, P

x x ;

60. x L

1 x x для единицы 1 поля P ;

70. x L ,

, P

x x x ;

80. x, y L , P

x y x y .

Простейшие свойства линейного пространства

1. x L

0 x .

Доказательство.

x 0 x 1 0 x x 0 x .

2. P

.

Доказательство.

x x x в силу единст-

венности нулевого элемента.

Доказательство.

x x 1 1 x mx .

m

m

5. Если P, x L

x

0 x .

Примеры линейных пространств

1.

Множество Pm n всех матриц размера m n с элементами из P с опера-

циями сложения матриц и умножения матрицы на число из P является линейным

пространством над P .

2.

n x x1 , x2 ,..., xn |

xi , i

– пространство n -мерных

1, n

ным подпространством в

L , если оно само является линейным пространством

относительно операций, определенных в L .

Критерий подпространства.

Непустое подмножество M из L является

подпространством в L тогда и только тогда, когда выполнены условия:

(1) x, y M

x y M ,

(2) x M ,

P

x M .

Линейная зависимость

Пусть L – линейное пространство над полем P .

Пусть A a1, , an

– система элементов из L .

Определение. Линейной комбинацией элементов a1, , an системы A с ко-

эффициентами 1, , n

называется

элемент вида 1a1 nan . Если

n

b i ai , то говорят, что элемент b

линейно выражается через элементы

i 1

a1, , an системы A (обозначение b

A ).

Определение. Говорят, что

система векторов А линейно зависима, если

1, , n P , не все нули, такие

что 1a1 nan . Система векторов А

Пример.

Выяснить,

будет

ли

система

векторов

a1 2, 2,1, 0

a2 1, 4, 3, 2 ,

a3 3, 0, 1, 2 ,

a4 1,10, 8, 2

линейно зависимой.

Решение.

Пусть 1a 1 2a2

3a3

4a4

.

Запишем данное равенство в

координатном виде:

2

1

3

1

0

2 1 2 3 3 4 0,

4

,

откуда

2 4

2

10

4

0,

.

2

2

3

0

4

10

0

1

0,

1

1

3

1

8

0

3

2

3

8

4

1

0

2

2

2

0

2 3

2 4 0.

2 2

Решим систему методом Гаусса:

2

1

3 1

1

3

1

8

1

3

1

8

1

3

1

8

0 5 5

15

1 1 3

0 1 1

3

2 4 0 10

0

1

3

1

8

0

2

2

6

0

1

1

3

0 0 0

0

2 2

0

2 2

2

1

1

1

0

0 2

2

0 2

0

1

3

1

8

1

3

0 7

1 0

0 1

0 1 1

3

0 1

0

2

0 1

0 2

.

0 0 1

1

0 0

1 1

0 0

1 1

нейных уравнений.

Определение. Пусть L – линейное пространство над

P . Пусть

A a , , a

n

– система элементов из L . Подсистема

A системы

А называется

1

1)

Если A – МЛНС в A , то любой вектор из A линейно выражается через

A .

2)

Если A1 и A2 – МЛНС в A , то число элементов систем A1 и A2 одина-

Определение. Упорядоченная МЛНС линейного пространства L называется

базисом L.

Итак, если система элементов e1, ,en – базис Ln , то

1)

e1, ,en

линейно независима;

n

2)

x Ln

x

e1, ,en , т.е. x iei .

зом линейно выражается через элементы этого базиса.

Доказательство.

Пусть существуют два разложения

по

базису:

x 1e1 nen 1e1 nen . Тогда 1 1 e1 n n

– триви-

альная линейная комбинация элементов базиса e1, ,en . Система

e1, ,en –

линейно независима,

следовательно,

1 1 0, , n n 0 .

Отсюда