Добавил:

Engels Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Уральский Федеральный университет им. Б.Н. Ельцина «УПИ»

Предмет:

Дополнительные главы математики

Файл:

Практика 14

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

13.07.2025

Размер:

220.02 Кб

Скачать

☆

Практика 14

РЕШЕНИЕ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ

Пример 1.

x1 2x2 3x3 5,

Решить систему уравнений 3x1 2x2 5x3 2,

2x1 x2 2x3 7.

Решение.

Дана система трёх уравнений с тремя неизвестными. Если определи-

тель системы отличен от нуля, то система имеет единственное решение, ко-

торое можно найти по формулам Крамера. Вычислим определитель системы:

	1	2		3					2			5			3 2						3	2		9 32 3 20 0 .
	1	2		3
	3	2		5		1							2					3
	2	1		2					1			2			2	1					2	1
	2	1		2
Составим и вычислим определители 1,																						2 ,			3 .
			5	2	3							, 2		1	5		3			92 , 3							1	2	5	27 .
			5	2	3									1	5		3										1	2	5
1			2	2		5		3						3 2					5							3		2	2
			7	1		2								2 7				2									2	1	7
Тогда x1							3			;			2		92		23		; x				3				27	.
				1							x	2									3
							20				x	2			20		5				3						20
							20								20		5										20

Пример 2.

Исследовать совместность системы и, если возможно, найти её реше-

x1 2x2 x3 3, ние: 1) x1 3x2 x3 1,

3x1 4 x 2 x 3 5.

x1 2x 2 2 x 3 3 x 4 4,x1 x 2 4 x 3 3 x4 5,

2) 3 x1 2 x 2 5 x 3 11x 4 2,

x 1 x 2 2 x 3 5 x 4 1,x1 2 x 2 x 3 7 x4 7.

Решение.

1). Составим расширенную матрицу системы и сведем её к ступенчатой матрице с помощью элементарных преобразований. Вычислим rangA и rang A | B . Если rang A | B rangA , то система совместна.

	1		2	1	3	A							A			1		2		1		3	B	1				B	1
						A							A										B					B
								1					1
A \| B		1	3	1	1					A			A				0 5		2			2						B
A \| B		1	3	1	1	A		2	~	A		2	A				0 5		2			2	B	2	~			B	2
								2				2	1											2					2
		3	4	1	5								3A				0 10		4			4						2B
		3	4	1	5	A			A				3A				0 10		4			4	B			B		2B
								3			3			1										3			3			2
								3			3			1										3			3			2
						1			2		1			3		1		2	1			3
							0		5 2					2	~	1		2	1			3
							0		5 2					2	~			5	2			.
							0		0		0			0		0		5	2		2
																0					2

Таким образом, rang A | B rangA 2 . Следовательно, система совме-

стна. Так как ранг матрицы меньше числа неизвестных rangA 2 3 (число неизвестных), то система имеет множество решений. Продолжим преобразо-

вание матрицы A | B :

																									2								1		11
	1		2 1					3						C						C1							C 2					1 0
A \| B ~	1		2 1					3						C						C1					5		C 2					1 0	5		5
A \| B ~		0 5															1			~					5								5		5			.
		0 5			2			2						C2								1		C 2						0 1				2			2
								2						C2							5			C 2						0 1
																					5												5		5
					x		1		1			x			11				,
					x							x							,
Запишем систему:									5				3			5
Запишем систему:									5							5
					x		2			2		x						2		.
					x							x								.
									5				3					5
									5									5
																					x		1			11			1	x ,
																					x									x ,
Получим общее решение системы:																											5		5	3
Получим общее решение системы:																											5	2	5	2
																					x		2					2		2	x .
																					x										x .
																											5			5		3
																											5			5
Придавая параметру								x3 различные значения, будем получать частные
решения. Например, если							x3 1,							то частное решение: x1																			2 ,			x2 0 ,			x3 1;
если x 0 , то x	1		11	,	x	2					2		,	x		3			0. Это частное решение называют ба-
если x 0 , то x				,	x								,	x					0. Это частное решение называют ба-
3			5						5
			5						5

зисным.

	1		2	2	3	4	A1			A1		1 2			2	3	4
		1	1	4	3	5		A	A A				0	1 2		0	1
2).								2	2	1
2).	A \| B 3		2	5	11	2 A ~ A 3A					0			4	1	2	10
		1	1	2	5	1		3	3	1			0	1 0		2	3
		1	1	2	5	1		A	A A				0	1 0		2	3
								4	4	1
		1 2 1			7	7		A	A A				0	4	3	4	11
								5	5	1

B1		B1		1 2
B		B			0	1
2		2
B ~ B 4B			0			0
3	3	2			0	0
B4	B4 B2				0	0
B	B B				0	0
5	5	3

2	3	4	1 2			2	3	4
2	0	1		0	1	2	0	1

9	2	14 ~ 0			0	9	2	14 .
2	2	4		0	0	2	2	4

2	2	1		0	0	0	0	3

Следовательно, rangA 4 ,			rang A \| B 5 и система несовместна. Это
утверждение	следует	и	из	последнего	уравнения	системы:
0 x1 0 x2 0 x3 0 x4		3 уравнение не имеет решения.

Пример 3.

Решить систему в зависимости от параметра :

3x1 2x2 5x3 4x4 3,

2x1 3x2 6x3 8x4 5,

x1 6x2 9x3 20x4 11,

4x1 x2 4x3 x4 2.

Решение.

Составим матрицу A | B .

3		2	5	4	3	A1		A1 A2		1		1	1	4	2
	2	3	6	8	5		A		A		2 3		6	8	5
A \| B		6	9	20			2	~	2			6	9	20
1		6	9	20	11	A		A		1		6	9	20	11
	4	1	4		2		3		3		4 1		4		2
	4	1	4		2		A		A		4 1		4		2
							4		4

B1			B1	1
B	B 2B				0
2	~	2	1
B	B		B	0
3		3	1		0
B4	B4 4B1				0

1	1		4	2		C1					C1			1		1	1	4	2
5 8			16	9		C				~		C			0	5	8	16	9	~
5	8	16					2			~		2				0	0	0		~
5	8	16		9		C					C C			0		0	0	0	0
5 8		16		10			3					3	2		0	0	0		1
5 8		16		10			C					C C			0	0	0		1
							4					4	2
	1		1	1		4		2
	1		1	1		4		2
		0	5		8	16			9
		0	5		8	16			9
		0	0		0				1
		0	0		0				1

1). Если 0 , то rangA 2 , rang A | B 3 и система несовместна.

2). Если 0 , то rangA rang A | B 3. Число неизвестных равно 4, сле-

довательно, система имеет множество решений, число свободных неизвест-

ных равно 1 ( n rangA ). Продолжим преобразования:

									D					1	D			1	0	3			4				1
									D						D			1	0
	1		1	1	4	2	D1			1			5			2				5	5			5
	1		1	1	4	2	D1				1		5							5	5			5
A \| B ~		0	5	8 16		9	D		~		1	D						0	1	8		16				9
A \| B ~		0	5	8 16		9	D		~	5		D						0	1	5	5			5
		0	0	0		1		2		5			2							5	5			5
		0	0	0		1		D
								3			1		D3				0		0	0	1				1
											1						0		0	0	1				1

					E							4	E										1		0
					E								E										1		0
E1						1					5			3
											5
											16
E		~ E									16			E				0 1
E		~ E									5			E				0 1
E2						2					5			3									0		0
3										E3													0		0


								3											1				4
		x1									x 3														,
		x1						5			x 3								5				5		,
Запишем систему:								5											5				5
					2			8			x 3					9					16			,
		x			2						x 3													,

										5							5					5
		x							1		.
		x									.
				4

	x		1			4									3			x ,
	x																	x ,
							5							5						3
							5							5
Общее решение:							9 16													8				где
Общее решение:							9 16													8				где
	x 2																				x3,
	x 2									5										5	x3,
						1				5										5
						1
	x 4									,
	x 4									,

3		1					4
	0
5	0			5			5
8	0		9			16		.
5	0	5				5		.
5	1	5				5
0	1				1

x 3 – свободное неизвестное.

Примеры для самостоятельного решения

		2x		4x	9x	28,
1).	Решить систему		1	2	3	1, .
1).	Решить систему		7x	3x	6x	1, .
			1	2	3
		7x		9x	9x 5.
			1	2	3

Ответ: x1 2 , x2 3 , x3 4 .

2). Исследовать совместность системы и, если возможно, найти её реше-

	2x1			7x2 3x3 x4			5,		x1	3x2		2x3		3x4			10,
ние: 1)	x		3x		5x	2x	3,	2)	2x		6x		5x		8x			21,
	x1		5x2		9x3	8x4	1,		x	1 2x 2 3x				3 4x		4 8,
	1			2	3	4			1		2		3		4			18.
	5x			18x 4x 5x 12.					2x		4x	2	5x		7x
		1			2	3	4			1				3		4

Ответ: 1). Система			совместна,											общее решение имеет вид:
x1 6 26x3 17x4; x2	1 7x3			5x4;						2). Система имеет единственное ре-
шение: x1 11, x2 0 ,	x3 5 ,		x4 3 .
3). Решить систему в зависимости от значений параметра :
	5x 3x 2x 4x 3,
		1		2						3			4
	4x1		2x2			3x3						7x4 1,
	8x 6x					x 5x 9,
		1		2			3				4
	7x		3x			7x					17x .
		1		2						3			4
Ответ: при 0 система несовместна; при 0 система совместна,
	x			3			5		x		13			x ,

общее решение имеет вид:		1		2			2			3	2		4 .
	x				7			7	x			19		x .
				2			2
		2								3	2		4

РЕШЕНИЕ ОДНОРОДНЫХ СИСТЕМ

Пример 1.

5x1 6x2 2x3 7x4 4x5 0,

2x1 3x2 x3 4x4 2x5 0,

Найти общее решение системы:

7x1 9x2 3x3 5x4 6x5 0,

5x1 9x2 3x3 x4 6x5 0.

Решение.

Запишем и преобразуем матрицу системы:

		5 6			2 7			4		A1			A1 2 A2						1 0						0 1 0
			2 3		1 4			2		A				A						2 3				1 4			2
	A										2		~	2
			7 9		3 5			6			A3			A3						7 9				3 5			6
			7 9		3 5			6			A3			A3						7 9				3 5			6
			5 9		3 1			6		A4				A4						5 9				3 1			6
		B1				B1			1 0				0 1 0						C1							C1
		B			B 2B					0 3			1 6			2			C				~			C
			2	~		2	1															2	~			2
										0 9			3 12			6										3C2
		B3			B3 7B1					0 9			3 12			6			C3					C3		3C2
		B4			B4 5B1					0 9			3 6			6			C4					C4 3C2
	1 0 0					1	0		1 0				0 1			0			1 0						0 1		0
		0 3		1 6			2			0 3			1 6			2			1 0						0 1		0
		0 3		1 6			2	~		0 3			1 6			2	~				0 3				1 6		2
	0 0 0					6	0		0 0				0 6			0
	0 0 0					6	0		0 0				0 6			0					0 0				0 1 0
		0 0 0				12	0			0 0 0 0						0					0 0				0 1 0
		0 0 0				12	0			0 0 0 0						0
	rangA 3.					Число неизвестных равно 5. Число свободных неизвест-
ных		5 3 2 .				Выпишем						систему,					эквивалентную										исходной:
x	x	0,
1	4												x1 x4 0 ,					за				свободные неизвестные
3x2 x3 6x4 2x5 0, .Очевидно,													x1 x4 0 ,					за				свободные неизвестные
x	0.
4
													x	0,
удобно взять x2 ,													1	3x2			2x5,
удобно взять x2 ,					x5 . Общее решение: x3									3x2			2x5,
													x	0.
													4
																	0						0					x1
																	1						0					x
	Запишем ответ в матричной форме:																											2
	Запишем ответ в матричной форме:													X 3 x								2		x , где X x						.
																				2					5				3
																	0						0					x
																												4
																	0						1					x
																												5
															0					0
															1					0
															1					0
	Пусть x2 C1 , x5 C2 , тогда														3					2
	Пусть x2 C1 , x5 C2 , тогда												X C1		3	C2				2		.
															0					0
															0					1
															0					1

Пример 2.

3x1 5x2 2x3 0,4x 7x 5x 0,

Решить систему: 1 2 3

1x1 1x2 4x3 0,

2x1 9x2 6x3 0.

Решение.
Запишем и преобразуем матрицу системы:
A	3 5			2	~			A3	1 1			4	~	1 1 4				1	1	4
A	4		7	5	~	A1 3A3			0		2	14	~	0 1			7	~ 0	1	7 .
		1	1	4		A		4 A		0	3	21			0	1	7		1
		2	9	6			2	3		0	7	14			0	1	2	0	1	2
		2	9	6			A4	2A3		0	7	14			0	1	2

Получим rangA 3 . Следовательно, система имеет единственное нуле-

вое решение x1 x2 x3 0 .

Примеры для самостоятельного решения

Найти, если возможно, общее решение систем:

	x x x x 0,						3x 4x x 2x 3x 0,
		1	2	3	4			1	2	3		4	5
1)	x1 x2 x3 x4 0,					; 2)	5x1		7x2 x3 3x4				4x5	0,
1)		x x x x 0,				; 2)		4x	5x 2x x				5x	.
		x x x x 0,						4x	5x 2x x				5x	0,
		1	2	3	4			1	2		3	4	5
	x x x x 0.						7x 10x x 6x 5x 0.
		1	2	3	4			1		2	3	4		5
Ответ: 1)				x1 x2	x3 x4 0 . 2)				x1 3x3		5x5,		x2 2x3 3x5 , x4 0 .

Соседние файлы в предмете Дополнительные главы математики

#
13.07.2025559.25 Кб0Практика 1..pdf
#
13.07.2025616.04 Кб0Практика 10..pdf
#
13.07.2025477.85 Кб0Практика 11..pdf
#
13.07.2025441.22 Кб0Практика 12..pdf
#
13.07.2025203.94 Кб0Практика 13.pdf
#
13.07.2025220.02 Кб0Практика 14.pdf
#
13.07.2025226.59 Кб0Практика 15.pdf
#
13.07.2025493.7 Кб0Практика 16..pdf
#
13.07.2025537.41 Кб0Практика 2..pdf
#
13.07.2025511.51 Кб0Практика 3..pdf
#
13.07.2025531.28 Кб0Практика 4..pdf

1	1		4	2		C1					C1			1		1	1	4	2
5 8			16	9		C				~		C			0	5	8	16	9	~
5	8	16					2			~		2				0	0	0		~
5	8	16		9		C					C C			0		0	0	0	0
5 8		16		10			3					3	2		0	0	0		1
5 8		16		10			C					C C			0	0	0		1
							4					4	2
	1		1	1		4		2
	1		1	1		4		2
		0	5		8	16			9
		0	5		8	16			9
		0	0		0				1
		0	0		0				1

1	1		4	2		C1					C1			1		1	1	4	2
5 8			16	9		C				~		C			0	5	8	16	9	~
5	8	16					2			~		2				0	0	0		~
5	8	16		9		C					C C			0		0	0	0	0
5 8		16		10			3					3	2		0	0	0		1
5 8		16		10			C					C C			0	0	0		1
							4					4	2
	1		1	1		4		2
	1		1	1		4		2
		0	5		8	16			9
		0	5		8	16			9
		0	0		0				1
		0	0		0				1

1	1		4	2		C1					C1			1		1	1	4	2
5 8			16	9		C				~		C			0	5	8	16	9	~
5	8	16					2			~		2				0	0	0		~
5	8	16		9		C					C C			0		0	0	0	0
5 8		16		10			3					3	2		0	0	0		1
5 8		16		10			C					C C			0	0	0		1
							4					4	2
	1		1	1		4		2
	1		1	1		4		2
		0	5		8	16			9
		0	5		8	16			9
		0	0		0				1
		0	0		0				1