Лекция 14

Лекция 14

6.2. Решение произвольной системы методом Гаусса

Рассмотрим произвольную систему линейных уравнений AX B и ее рас-

Если уравнение системы умножить на число, сложить с другим уравнением,

вычеркнуть одно из пропорциональных уравнений, поменять местами уравнения или неизвестные, то получим систему, равносильную исходной. Удобнее произ-

водить эти операции не с самими уравнениями, а с их коэффициентами, то есть с элементами расширенной матрицы.

Метод Гаусса (метод последовательного исключения неизвестных)

Прямой ход метода Гаусса состоит в приведении расширенной матрицы системы к матрице ступенчатого вида (с нулями ниже главной диагонали) с по-

мощью элементарных преобразований.

Обратный ход состоит в получении нулей выше главной диагонали. При этом на главной диагонали нужно получить ненулевые элементы (за исключением нулевых строк).

Будем использовать следующие элементарные преобразования:

умножения строки на число, отличное от нуля;

прибавления к строке другой строки;

вычеркивания одной из пропорциональных строк;

перестановки строк или столбцов местами;

вычеркивание нулевых строк.

Опишем подробнее прямой и обратный ход метода Гаусса.

1

Прямой ход. С помощью элементарных преобразований строк получим ну-

ли ниже главной диагонали сначала в первом столбце с помощью первой стро-

ки (это равносильно исключению x1 из всех уравнений, кроме первого); затем

получим нули ниже главной диагонали во втором столбце с помощью второй строки и т.д.

Обратный ход. Получим нули выше главной диагонали сначала в послед-

нем столбце с помощью последней строки, потом в предпоследнем столбце с

рицы А.

Если в процессе элементарных преобразований мы получим строку расши-

ренной матрицы, всю состоящую из нулей, то эту строку вычеркнем (соответст-

вующее уравнение 0 x1 0 x2 0 xn 0 выполняется тождественно) и про-

должим метод элементарных преобразований.

Если получим ненулевую строку, но на главной диагонали будет нулевой элемент, то поменяем столбцы в матрице (а значит, неизвестные в уравнениях)

местами так, чтобы на главной диагонали оказался ненулевой элемент.

В итоге получим в расширенной матрице системы нули ниже и выше глав-

ной диагонали. При этом матрица системы приведется

2

В первом случае в результате элементарных преобразований получим рав-

носильную систему:

(их число равно n r ). Придавая свободным неизвестным числовые значения, по-

лучим из общего решения частные решения системы. Система совместна и имеет бесконечное множество решений. Итак, мы можем сделать вывод:

3

1). Если ранг расширенной матрицы больше ранга матрицы системы, то система несовместна.

2). Если ранг расширенной матрицы равен рангу матрицы системы, то сис-

тема совместна, при этом а) если ранг равен числу неизвестных, то система имеет единственное

решение;

б) если ранг меньше числа неизвестных, то система имеет бесконечно много решений.

Сформулируем без доказательства теорему.

Критерий Кронекера - Капелли. Система линейных уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранг матрицы системы равен рангу расширенной мат-

рицы.

Решение. Составим расширенную матрицу системы A | B и обозначим ее

строки A1, A 2 , A3 , A 4 . С помощью элементарных преобразований строк получим нули ниже главной диагонали сначала в первом столбце с помощью первой стро-

ки (это равносильно исключению x1 из всех уравнений, кроме первого):

Разделим вторую строку на ( 11) . Третья и четвертая строки равны, сле-

довательно, одну из них можно вычеркнуть, например, четвертую. Третью строку можно сократить на 3. Затем с помощью второй строки получим нуль ниже глав-

ной диагонали во втором столбце:

4

Закончен прямой ход метода Гаусса, т. е. ниже главной диагонали все эле-

менты равны нулю, элементы главной диагонали равны единице. Перейдем к об-

ратному ходу метода Гаусса – получению нулей выше главной диагонали сначала в третьем столбце с помощью третьей строки, потом во втором столбце с по-

мощью второй строки:

Обратный ход метода Гаусса закончен – ниже и выше главной диагонали все элементы равны нулю. В результате элементарных преобразований матрицы

A B , а значит и системы уравнений, получили равносильную систему:

Итак, в результате элементарных преобразований на месте матрицы A мы получили единичную матрицу, а на месте столбца свободных членов – столбец-

решение.

Решение. Составим расширенную матрицу системы и обозначим ее строки

A1, A2 , A3, A4 . С помощью элементарных преобразований получим нули ниже

5

главной диагонали в первом столбце с помощью первой строки. С помощью вто-

рой строки получим нуль ниже главной диагонали во втором столбце:

Заметим, что rang A | B rang A 2 ; значит, система совместна. Вычеркнем

две нулевые строки и получим нуль выше главной диагонали во втором столбце:

В результате элементарных преобразований матрицы A | B (или, что то же самое, системы уравнений) получили равносильную систему

Решение. Применим метод Гаусса:

6

Последней строке соответствует уравнение 0 x1 0 x2 0 x3 12 , которое не имеет решения. Следовательно, и система не имеет решения.

7