Практика 13

Добавил:

Engels Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Уральский Федеральный университет им. Б.Н. Ельцина «УПИ»

Предмет:

Дополнительные главы математики

Файл:

Вычислить ранг матрицы

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

13.07.2025

Размер:

203.94 Кб

Скачать

☆

Практика 13

ОБРАТНАЯ МАТРИЦА

Пример 1.

Выяснить, существует ли обратная матрица для матрицы		1	2
Выяснить, существует ли обратная матрица для матрицы	A	3	4	.
		3	4

Если обратная матрица существует, найти её.

Решение.

Матрица обратима, если её определитель не равен нулю. Вычислим

det A	1	2	1 4 2 3 2					0		1			- существует.
det A	3	4	1 4 2 3 2					0		A			- существует.
Найдем матрицу из алгебраических дополнений:
		A 1 1 1 4 4				, A 1 1 2 3 3 , A										21	2	, A	21	1.
		11				12										21			21
				A 1		1			A	A			T
Известно, что									11		12 . Следовательно,
Известно, что					det A				11		12 . Следовательно,
					det A				A21	A22
				A 1			1		4	3		T	2	1
							1						3		1 .
													3		1 .
							2		2	1
							2		2	1					2
													2		2

Как проверить	результат?						По	определению				обратной матрицы
A 1 A E и A A 1 E . Проверим эти равенства:
1		2			1			1 2		1	0
A								3 4		0	1	E ,
A	A 3					1						E ,
			2			2
	1	1		2	2			1		1	0
A A		3		4					1	0	1	E .
A A						3			1			E .
							2		2

Матрица A 1 найдена верно.

Пример 2.

1	1	1	1

Найти обратную матрицу для матрицы A 1	2	3	4	.
1	3	6	10
	4	10	20
1	4	10	20

	Решение. Найдем A 1 ,											используя									метод						Гаусса.			Запишем								матрицу
A \| E		и с помощью преобразований приведем её к виду E \|																														A 1 .
1 1 1 1						1		0 0 0			A1						A1						1 1 1 1							1		0 0 0
																	A1

1 2 3 4						0		1 0 0				A			A2 A1									0 1 2				3		1		1 0 0
						0						2	~		A			A												0		1
1 3 6 10						0		0 0 0			A				A			A			2		0 1 3 6							0		1				1 0
						0						3					3				2			0 1 4 10						0		0				1 1
1 4 10 20						0		0 1 1				A			A A									0 1 4 10						0		0				1 1
												4			A A
B1				B1 B2											4						3							C1				C1 C3
									1 0			1	2			2				1				0 0
									1 0			1	2			2				1				0 0
B					B				0 1 2					3		1					1 0 0							C		2		C		2			2C
	2		~		2											1				2										2	~			2				3
B				B B					0 0 1 3							1				2				1 0				C								C
	3				3		2									0					1		2						C	3			C					3
	B				B B				0 0 1 4							0					1		2				1		C	4			C		4		C
	4				4		3																							4					4			3
					1			0 0 1		3 3 1									0			D1					D1 D4
					1			0 0 1		3 3 1									0			D1					D1 D4
							0	1 0 3		3 5					2				0			D					D 3D
								0 1 3		1 2 1														2			~ 2			4
					0			0 1 3		1 2 1									0			D					D 3D
							0	0 0 1		1 3					3				1					3			3	D		4
							0	0 0 1		1 3					3				1				D					D
																								4					4
			1 0 0					0	4 6				4			1											4		6			4				1
			1 0 0					0	4 6				4			1

				0 1 0				0	6 14			11 3															6 14					11					3
				0 1 0				0	6 14			11 3												1			6 14					11					3
			0 0 1					0	4 11 10							3					A			1				11										.
			0 0 1					0	4 11 10							3					A					4		11				10 3

				0 0 0				1	1 3			3 1																				3					1
				0 0 0				1	1 3			3 1															1 3					3					1
	Пример 3.
														1					2 3								1			3		0
	Решить матричное уравнение														3				2			4								2		7
	Решить матричное уравнение														3				2			4			X 10					2		7	.
															2				1			0										8
															2				1			0					10 7					8

Решение.

						1 2				3						1		3	0
	Если матрица			A			3	2		4		обратима, то X A			1			2	7
	Если матрица			A			3	2		4		обратима, то X A				10		2	7	.
							2	1	0										8
							2	1	0							10 7			8
	Вычислим:						det A			1		2	3
										1		2	3

										3		2	4	1 2 0 2	4		2 3		1		3
										3		2	4	1 2 0 2	4		2 3		1		3
										2	1		0
3	2 2	4			1 3			2 0		7 8 1.				Так как det A 0 , то существует
3	2 2	4	1		1 3			2 0		7 8 1.				Так как det A 0 , то существует

обратная матрица A 1 . Для её отыскания найдем алгебраические дополнения

матрицы A :

A		2		4			( 1)2	4,			A				3			4			1 3		8,		A	3		2				1 4		7,
11			1 0								12				2			0							13		2 1
A			2	3			( 1)3	3,			A			1				3	( 1)4 6,						A	1		2		( 1)5 5,
A			2	3			( 1)3	3,			A			1				3	( 1)4 6,						A	1		2		( 1)5 5,
21			1	0							22			2				0							23	2		1
			1	0										2				0								2		1
A	2			3	( 1)4 2,						A					1		3		( 1)5 5,					A		1	2	( 1)6 4.


31		2		4							32					3		4							33		3	2
		2		4												3		4									3	2
													A					A A					T								4 3			2
			По формуле					A 1			1		11					12				13		получим			A 1					8		5	.
											1		A					A				A											6
													A					A				A											6
													21					22				23										7	5	4
											det A		A					A				A										7	5	4
													31					32				33
				4 3				2 1				3					0				6 4		5
Тогда X						8 6		5				2					7					2 1	2
Тогда X						8 6		5		10		2					7					2 1	2	.
						7 5		4														3 3	3
						7 5		4	10 7 8													3 3	3

Пример 4.

Показать, что матрица, обратная к невырожденной симметричной мат-

рице, будет симметричной.

Решение.

Матрица называется симметричной, если для неё выполняется равенст-

во AT A. Пусть дана невырожденная симметричная матрица A . Тогда

det A 0 . Следовательно, для A существует обратная										A 1 . Нужно показать,
что		A 1 T A 1 . Вспомним,					что	A 1 T AT 1	и	используем	условие
AT A: A 1 T AT 1						A 1	A 1 . Итак, A 1 T A 1 , а это означает, что
матрица A 1 – симметричная.
		Примеры для самостоятельного решения
1).		Найти,			если возможно,			обратную матрицу для			матрицы
	1		2	2
A		2	1	2
A		2	1	2	.
		2	2	1
		2	2	1

	Ответ:	A 1	1					A .

					9
																			1	1	1	1

2). Найти обратную матрицу для матрицы																		A 1		1	1	1 .
																			1	1	1	1
																				1	1
																			1	1	1	1
						1			1		1		1	1
	Ответ:	A 1				1			1		1		0	0 .
	Ответ:	A 1							1		1		0	0 .
			2							1	0		1
			2							1	0		1	0
										1	0		0	1
											1		3 2			1		3 5
3).	Решить уравнение											2	1		1		0	2	4
3).	Решить уравнение										X	2	1		1		0	2	4	.
												3	2		0		1	1	1
												3	2		0		1	1	1
				1			42				49		49
	Ответ:	X		1					22		16		18		.
	Ответ:	X							22		16		18		.

				7					8		9		11
									8		9		11
4).	Пусть A и		B –							невырожденные матрицы одного и того же порядка.

Показать что, если AB BA , то A 1B BA 1 и A 1B 1 B 1A 1 .

РАНГ МАТРИЦЫ

Пример 1.

Решение.

С помощью элементарных преобразований приведем матрицу к ступенчато-

му виду.

	1		3 5		1		A1						A1			1 3			5 1		B1			B1
		2	1	3	4		A					A 2A					0	7	13	6	B			B	2
A			1	1					2		~ 2			1				14	26			2	~		2
	5		1	1	7				A				A 5A			0		14	26	12	B		B 2B
		7	7 9		1				3				3	1			0	14	26	8		3		3		2
		7	7 9		1				A4			A4 7 A1					0	14	26	8	B4		B4 2B2
1			3	5	1		1			3			5	1
	0		7	13	6		1			3			5	1
	0		7	13	6	~		0		7			13	6	.
0			0	0	0
0			0	0	0			0		0			0	4
	0		0	0	4			0		0			0	4
	0		0	0	4

Переставив третий и четвертый столбцы, получим матрицу ступенчатого ви-

		1		3	1	5
да	A ~		0	7	6	13	, поэтому rang A 3 .

			0	0	4	0

Пример 2.

		1			1	2
Чему равен ранг матрицы	A		2	1		5	при различных значениях пара-

			1	10	6	1

метра ?

Решение.

Приведем матрицу A к ступенчатому виду. Выполним следующие элемен-

тарные преобразования:

	1			1	2	A1		A3	1		10	6	1

A		2	1		5	A 2	~ A1	A3		0	10	5	1
														.
		1	10	6	1					0	21	12	3
						A3	A2	2A3

Переставив второй и четвёртый столбцы и проведя еще раз элементарные

преобразования, получим:

	1 1		6		10			B1				B1			1 1		6	10
																			.
A ~		0 1	5	10				B 2 ~				B 2				0 1	5	10

		0 3	12		21											0 0	3	3 9
								B 3		B 3		3B 2
Если 3 , то A ~					1		1	6	10			1	1	6		10	и rangA 2 .
						0	1	5	7
											~	0	1	5
						0	0	0	0							7

Если 3 , то 3 0 и rang A 3 .

Примеры для самостоятельного решения

1). Вычислить ранг матрицы:

	4		3	5	2	3
		8	6	7	4	2	y				1		2	1
							y
а)	A 4 3			8	2	7		;	б)	A		0	3	1	.
а)	A 4 3			8	2	7	x	;	б)	A		0	3	1	.
		4	3 1		2	5	x					2 1		0
		4	3 1		2	5						2 1		0
		8	6	1	4	6
		8	6	1	4	6

Ответ: 1) rangA 2 ; 2) rangA 3 .

	3		1	1	4
2). Найти значения , при которых матрица			4	10	1	имеет наи-
	A
	1		7	17	3
		2	2	4	3

меньший ранг. Найти это значение и найти ранг при других значениях .

Ответ: 0 , rangA 2 ; 0 , rangA 3 .

Соседние файлы в предмете Дополнительные главы математики

#
13.07.2025264.7 Кб0Лекция 9.pdf
#
13.07.2025559.25 Кб0Практика 1..pdf
#
13.07.2025616.04 Кб0Практика 10..pdf
#
13.07.2025477.85 Кб0Практика 11..pdf
#
13.07.2025441.22 Кб0Практика 12..pdf
#
13.07.2025203.94 Кб0Практика 13.pdf
#
13.07.2025220.02 Кб0Практика 14.pdf
#
13.07.2025226.59 Кб0Практика 15.pdf
#
13.07.2025493.7 Кб0Практика 16..pdf
#
13.07.2025537.41 Кб0Практика 2..pdf
#
13.07.2025511.51 Кб0Практика 3..pdf