Лекция 13

Лекция 13

5.4. Понятие ранга матрицы

Определение. Рангом матрицы A называется наивысший порядок ненуле-

вого минора.

Минор, порядок которого определяет ранг матрицы, называется базисным.

Обозначение ранга матрицы A : r( A) или rg( A) , или rang ( A) .

Добавим к элементарным преобразованиям матрицы, перечисленным в

п.5.3, вычеркивание нулевой строки (столбца) или одной из двух пропорциональ-

ных строк (столбцов). Можно показать, что элементарные преобразования не ме-

няют ранг матрицы. Поэтому для вычисления ранга удобно приводить матрицу A

к ступенчатому виду с помощью элементарных преобразований.

Решение. Чтобы следить за ходом элементарных преобразований, обозна-

чим строки матрицы A1 , A2 , A3, A4. Путем элементарных преобразований строк получим нули ниже главной диагонали сначала в первом столбце с помощью пер-

вой строки, затем во втором столбце с помощью второй строки:

1

Вычеркнем из матрицы нулевую строку. При этом на главной диагонали получим ноль, поэтому поменяем местами третий и четвертый столбцы. Получим

ля и является базисным. Ранг матрицы А равен его порядку, то есть трем. Итак,

rg A 3 .

6. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

Рассмотрим систему m линейных уравнений с n неизвестными:

где А − матрица из коэффициентов при неизвестных, называемая матрицей системы, Х − матрица-столбец из неизвестных, В − матрица-столбец свободных членов системы:

2

Определение. Система линейных уравнений называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение. Если система не имеет решений, то она называ-

ется несовместной.

Совместная система может иметь единственное решение, тогда она называ-

ется определенной; может иметь множество решений, тогда она называется неоп-

ределенной.

Определение. Система линейных уравнений называется однородной, если

все свободные члены bi 0 ( i 1, n ).

Определение. Система линейных уравнений называется неоднородной, если

хотя бы один из коэффициентов bi 0 ( i 1, n ).

6.1. Решение систем с квадратной невырожденной матрицей

Рассмотрим систему n линейных уравнений с n неизвестными

a 11x1 a 12 x2 a 1n xn b1,

Матрица системы − квадратная.

Решение системы линейных уравнений средствами матричного

исчисления

Запишем систему в матричной форме A X B . Если det A 0 , то сущест-

вует обратная матрица A 1 . Умножив равенство A X B слева на A 1 , получим:

A 1( AX ) A 1B , A 1A X E X X и X A 1B .

Замечание. Если же det A 0 , то матричное уравнение не имеет решений в случае неоднородной системы и имеет бесконечно много решений в случае одно-

родной системы.

Решение системы по формулам Крамера

3

столбца столбцом свободных членов ( i 1, 2, , n ).

x1 x2 x3 36,

Пример 6.1. Выяснить, имеет ли система уравнений x1 x2 x3 13,

x1 x2 x3 7.

единственное решение. Если да, найти его.

Решение. Составим определитель системы и вычислим его:

Так как 0 , то система имеет единственное решение, которое найдем по формулам Крамера. Для этого вычислим определители 1, 2 , 3 :

5