Практика 12
..pdf
Практика 12
|
|
|
|
|
|
|
ОПРЕДЕЛИТЕЛИ |
|
|
|
Пример 1. |
|
|
|
|
|
|||
|
Доказать, |
что |
|
при действительных |
a, b, c |
корни уравнения |
|||
a x |
b |
|
0 действительны. |
|
|
||||
|
|
|
|||||||
b |
c x |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
Решение. |
|
|
|
|
|
|||
|
Вычислим определитель: |
|
|
||||||
|
|
a x |
b |
|
a x c x b2 x2 |
a c x b2 ac. |
|||
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
b |
c x |
|
|
|
|
|
Получим квадратное уравнение x2 a c x b2 |
ac 0 . Корни этого |
|||||||
уравнения действительны, если дискриминант неотрицателен.
|
|
|
Вычислим дискриминант: |
D a c 2 |
|
4b2 4ac a2 2ac c2 4b2 |
||||||||||||||
4ac a2 2ac c2 |
4b 2 a c 2 |
4b2 |
0 |
при любых действительных |
||||||||||||||||
a, b, c. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
Пример 2. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
Вычислить определитель |
|
|
2 |
|
0 |
5 |
|
|
по определению и используя |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
3 |
16 |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
1 |
10 |
|
|
|
свойства определителей. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
Решение. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
а). По определению |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
2 |
0 |
5 |
|
|
3 |
16 |
|
1 |
16 |
|
|
|
|
1 |
3 |
|
2 30 16 5 1 92 5 87. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
1 |
3 |
16 |
|
2 |
0 |
|
|
5 |
|
|||||||||
|
|
0 |
1 |
10 |
|
|
1 |
10 |
|
0 |
10 |
|
|
|
|
0 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
б). Используя свойства: если вторую строку умножить на 2 и доба-
вить к первой, определитель не изменит своего значения. Получим
2 |
0 |
5 |
|
0 |
6 |
27 |
. |
1 |
3 |
16 |
|
1 |
3 |
16 |
|
0 |
1 |
10 |
|
0 |
1 |
10 |
|
Раскроем определитель по элементам первого столбца (теорема разло-
жения). Тогда 1 2 1 |
6 |
27 |
1 60 27 |
87. |
|
|
|
|
||||||||
|
1 |
10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример 3. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
1 |
1 |
1 |
|
|
|
3 |
5 |
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
Вычислить определители: 1) |
1 |
0 |
1 |
1 |
, 2) |
|
|
4 |
7 |
4 |
4 |
|
. |
|||
|
|
|
1 |
1 |
0 |
1 |
|
|
|
4 |
9 |
3 |
7 |
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
1 |
0 |
|
|
|
2 |
6 |
3 |
2 |
|
|
|
Решение.
Известно, что определитель, содержащий ниже (выше) главной диаго-
нали нули, равен произведению элементов, стоящих на главной диагонали.
Используя свойства определителей, приведем данные определители к виду,
когда ниже главной диагонали стоят нули.
|
0 |
1 |
1 |
1 |
|
3 |
1 |
1 |
1 |
|
1 |
1 |
1 |
1 |
|
1 |
1 |
1 |
1 |
|
1). |
1 0 1 1 |
|
3 0 1 1 |
3 |
1 0 1 1 |
3 |
0 |
1 |
0 |
0 |
3. |
|||||||||
|
1 1 0 1 |
|
3 1 0 1 |
|
1 1 0 1 |
|
0 |
0 |
1 0 |
|
||||||||||
|
1 1 1 0 |
|
3 1 1 0 |
|
1 1 1 0 |
|
0 |
0 |
0 |
1 |
|
|||||||||
Первоначально к первому столбцу добавили все остальные, затем из первого столбца вынесли общий множитель 3, и, наконец, последовательно вычли первую строку из всех остальных.
|
|
3 |
5 |
2 |
2 |
|
1 2 |
2 |
6 |
|
1 2 2 |
6 |
|
|||
2). |
4 7 |
4 |
4 |
|
4 7 |
4 |
4 |
|
0 |
1 |
4 |
20 |
|
|||
|
|
4 |
9 |
3 |
7 |
|
0 |
2 |
1 |
11 |
|
0 |
2 |
1 |
11 |
|
|
|
2 |
6 |
3 |
2 |
|
2 |
6 |
3 2 |
|
0 |
2 |
1 |
14 |
|
|
|
1 |
2 |
2 |
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
0 |
1 4 |
20 |
27. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
0 |
0 |
9 |
31 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
0 |
0 |
0 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Первоначально вторую строку добавили к первой и третьей; затем пер-
вую строку сначала умножили на (-4) и добавили ко второй, потом на 2 и до-
бавили к четвертой, и, наконец, второю строку умножили на (-2) и добавили к третьей, а третью вычли из четвертой.
Примеры для самостоятельного решения
x 3x
1). Решить неравенство: |
14. |
4 2x
|
Ответ: x 1;7 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
3 |
x |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
2). |
Решить уравнение: |
|
2 |
1 |
3 |
|
0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
x 10 |
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Ответ: x 10; x 2. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
1 |
0 |
1 0 |
|
|
|
3 3 |
5 8 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
3). |
Вычислить определители: 1) |
|
3 2 0 |
4 |
|
; 2) |
|
3 2 |
4 6 |
|
. |
|||||||
|
1 |
1 |
1 |
1 |
|
|
2 5 |
7 5 |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
6 |
6 |
1 |
11 |
|
|
|
4 3 |
5 6 |
|
|
||
Ответ: 1) 5; 2) 18.