Файловый архив студентов. Файловый архив студентов.
1304 вуза, 5157 предмета.
/ Регистрация
FAQ Обратная связь Вопросы и предложения
Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Уральский Федеральный университет им. Б.Н. Ельцина «УПИ»
Предмет:
Дополнительные главы математики
Файл:

Лекция 12

.pdf
Скачиваний:
0
Добавлен:
13.07.2025
Размер:
244.63 Кб
Скачать
☆

Лекция 12

5.3.Обратная матрица

Варифметике и алгебре для любого числа a 0 существует число 1a такое,

что a 1a 1; 1a есть число, обратное данному. В теории матриц также вводится

понятие обратной матрицы.

Определение. Матрица B A 1 называется обратной к квадратной мат-

рице A , если A A 1 A 1 A E .

Замечание. Не для всякой матрицы существует обратная.

Например, пусть

 

1

 

 

0

 

,

A 1

a

 

a

 

 

A

0

 

 

0

 

 

11

12

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a21

a22

 

Тогда A A 1

1

0

 

a

 

a

 

 

a

a

 

 

 

 

 

 

 

11

 

12

 

 

11

12 .

 

0

0

 

 

 

 

a22

 

0

0

 

 

 

 

 

a21

 

 

 

 

Матрица A не имеет обратной, так как A A 1 E.

Определение. Если для матрицы A существует обратная A 1 , то матрица A

называется обратимой (или невырожденной, или неособенной).

 

 

Cвойства операции обратимости матрицы.

1.

AB 1 B 1A 1 .

 

Действительно, AB B 1A 1 A B B 1 A 1 A E A 1 A A 1 E .

2.

A 1 1

A , так как A 1 A E .

3.

A T 1

A 1 T , так как E E T A A 1 T A 1 T A T .

4. Если для матрицы A существует обратная A 1 , то она единственна.

Рассмотрим условия существования обратной матрицы и способы ее оты-

скания.

1

Теорема 5.1. Если определитель матрицы A равен нулю,

то матрица A не

имеет обратной.

 

 

 

Доказательство. Проведем доказательство методом от противного. Допус-

тим, что существует

обратная

матрица A 1 . Тогда

A A 1 E и

det A A 1 det E 1.

 

 

 

С другой стороны,

det A 0 и

det A A 1 det A det A 1 0 . Получили

противоречие; следовательно, исходная матрица A не имеет обратной.

Теорема 5.2. Если определитель матрицы A отличен от нуля, то обратная

матрица A 1 существует и вычисляется по формуле

 

 

 

 

 

A

11

A

...

A

1n

T

 

 

 

 

 

 

 

12

 

 

 

 

 

 

 

1

A 21

A 22

...

 

 

 

A

1

 

 

A2n

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

det A

 

 

.

...

.

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

A n1

An 2

...

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A n n

 

где A11, A12 , , A n n − алгебраические дополнения элементов a11, a12 , , an n

матрицы A .

Доказательство. Обозначим через B матрицу из алгебраических дополне-

ний и найдем произведение матрицы A и матрицы, транспонированной к B :

a11

A BT a21

.an1

a 12 ...

a 22 ...

. ...

a n 2 ...

a1n a2n

.

an n

 

 

A 11

 

 

 

A 12

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

A 1n

 

 

 

A21

...

A n1

 

A 22

...

A n2

 

 

.

...

.

.

 

A2n

...

 

 

A n n

Перемножая i − ую строку матрицы A на k - й столбец матрицы BT , полу-

чим сумму произведений элементов i -й строки матрицы A на алгебраические до-

полнения k -й строки этой же матрицы. Эта сумма при i k равна det A (по тео-

реме разложения), а при i k равна нулю (по теореме аннулирования).

Поэтому

2

 

det A

0

...

0

 

1

0 ...

A B T

 

0

det A ...

0

 

 

0

1 ...

 

 

.

...

.

 

det A

 

 

 

.

 

. . ...

 

 

0

0

...

 

 

 

0

0 ...

 

 

det A

 

0

0 det A E.

.

1

Так как det A 0 , то A

 

BT

E

и, следовательно, матрица

 

1

 

BT явля-

 

det A

det A

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ется обратной к матрице A .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

По этой формуле удобно вычислять обратную матрицу в основном для мат-

риц 2-го или 3-го порядка.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Пример 5.9. Выяснить, существует ли обратная

матрица

для

матрицы

A 12

35 . Если да, то найти A 1 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Решение. Вычислим

 

2

5

 

 

det A

 

 

2 ( 3) ( 5) 1 1 0 . Следовательно,

 

 

 

 

 

 

 

 

1

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

обратная матрица

A 1 существует.

Найдем алгебраические дополнения элемен-

тов матрицы A :

A11 1 1 1 3 3,

A12 1 1 2

1 1,

 

 

 

A 21 1 2 1 5 5,

 

A22 1 2 2 2 2 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 A11

 

A12 T

 

1

 

 

3

1

T

3

5

3 5

 

 

 

Тогда A 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5

2

 

1

2

1 2

.

 

 

 

 

1

 

 

 

det A A21

 

A22

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Для проверки убедитесь, что A A 1 E.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Решение матричных уравнений

 

 

 

 

 

С

помощью

обратной

 

матрицы

можно

решить

матричное уравнение

AX B (или XA B ). Если матрица A невырожденная ( det A 0 ), то для нее су-

ществует обратная A 1 . Тогда, умножив уравнение AX B слева на

A 1 (а урав-

нение XA B справа на A 1 ),

получим X A 1B ( X B A 1 ).

 

Пример 5.10. Решить матричное уравнение AXB=C, где

 

3

1

5

6

1

1

 

A 5

2 ,

B 7

8 ,

C 9

1 .

 

3

Решение. Вычислим определители матриц А и В:

det A

3

1

6 5 1 0,

det B

5

 

6

40 42 2 0 .

 

 

 

 

 

 

 

 

5

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

7

 

8

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Следовательно,

существуют обратные матрицы A 1

и B 1 . Умножив урав-

нение AXB=C на A 1

слева, на B 1 справа; получим

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A 1A X B B 1 A 1C B 1

или X A 1C B 1 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Вычислим обратную матрицу A 1 по формуле:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A 1

 

 

 

1

 

A11

 

A12 T

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

det A A 21

 

A 22

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Так как

A11 2,

A12 5,

A21 1,

A22

3,

то

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A 1

1

 

 

2

 

 

5

 

T

2

1

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

1

 

 

3

5

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Аналогично вычислим

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 B11

 

B12 T

 

 

 

1

 

8 7

T 4

 

3

 

 

 

 

 

B

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6

5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

7

 

 

 

 

5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

det B B 21

 

B 22

 

 

 

2

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

Тогда

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

1 1 1

4

 

 

3

 

7

1

4

 

 

 

3

 

63

 

47

 

X A 1C B 1

 

7

 

 

 

5

 

 

 

 

 

 

 

 

5

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

7

 

 

 

2

.

 

 

 

 

 

5

3 9 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

22

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

95

71

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

2

 

 

 

 

 

2

 

 

 

2

 

 

 

Вычисление обратной матрицы методом элементарных

преобразований

Рассмотрим следующие элементарные преобразования матрицы:

1)перестановку строк (столбцов);

2)умножение строки (столбца) на число, отличное от нуля;

3)прибавление к элементам строки (столбца) соответствующих элемен-

тов другой строки (столбца), умноженных на некоторое число.

4

Если матрица В получена из матрицы А с помощью элементарных преобра-

зований, то матрицы А и В называют эквивалентными и записывают A B .

Покажем, что всякое элементарное преобразование квадратной матрицы A

эквивалентно умножению матрицы А на матрицу, представляющую результат применения соответствующего элементарного преобразования к единичной мат-

рице E того же размера, что и матрица A . При этом, если преобразование произ-

водится над столбцами матрицы A , то ее следует умножать справа на матрицу

специального вида, если же преобразование производится над строками, то слева.

Проверим эти утверждения на примере матриц A и E второго порядка:

 

a11

a12

 

E

1

0

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A

a

 

,

0

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a21

22

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Переставим строки матриц

 

a21

a22

 

0

1

 

и вычислим произ-

A

 

 

 

, E

1

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a11

a12

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

1

a11

a12

a21

a22

 

 

 

ведение E A :

 

E A 1

0

 

 

 

 

 

 

A .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a21

a22

a11

a12

 

 

 

Умножим, например, вторую строку матриц А и Е на 0 . Получим

 

a 11

 

a 12

 

,

 

1

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A

 

 

 

 

E

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a21

 

a22

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Вычислим произведение E A :

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 0

a11

a12

a11

a12

 

 

 

 

 

 

E A

0

 

 

 

 

 

 

a21

 

 

 

A .

 

 

 

 

 

 

 

 

a21

a22

 

a22

 

 

Умножим,

например,

первую строку матриц A и E на 0 и сложим со

второй строкой.

Получим

 

 

 

a11

 

 

 

a12

 

 

 

1

0

 

A

 

 

 

 

 

 

,

E

1 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a11 a21

a12 a22

 

 

 

 

Вычислим произведение E A :

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

0

a11

 

 

a12

 

 

a11

 

 

 

a12

 

 

 

 

 

E A

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A .

 

 

 

 

 

a21

 

 

a22

a11 a21

 

a12 a22

 

 

 

 

5

 

Отсюда следует, что если с помощью ряда последовательных элементарных

преобразований строк матрицы А мы получим матрицу A , а с помощью тех же

 

 

 

 

 

 

элементарных преобразований из единичной матрицы Е получим матрицу E , то

 

 

 

 

 

 

E A A.

При этом, если

матрица A будет равна единичной матрице Е, то

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

.

E A E . Следовательно, E A

 

Таким образом, для отыскания обратной матрицы A 1 следует:

построить расширенную матрицу A E , приписывая к матрице A справа

единичную матрицу,

используя элементарные преобразования строк расширенной матрицы,

получить на месте матрицы A единичную матрицу E ; тогда на месте единичной

матрицы будет обратная матрица A 1 .

Схема этого процесса: A E E A 1 .

 

 

3

4

5

 

Пример 5.11. Найти обратную матрицу A 1 для матрицы A

2

3

1

.

 

 

 

3

5

1

 

 

 

 

 

Решение. Найдем обратную матрицу A 1 методом элементарных преобра-

зований. Для этого построим расширенную матрицу A

 

E и вычтем из первой

 

ее строки вторую для получения единицы в верхнем левом углу; чтобы следить за ходом элементарных преобразований обозначим строки получившейся матрицы

A1 , A2 , A3 .

 

 

3

4

5

 

1

0

0

1

1

4

 

1

1

0

A

1

 

A

 

E

2

3

1

 

0

1

0

 

~

2

3

1

 

0

1

0

 

A

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

5

1

 

0

0

1

 

 

3

5

1

 

0

0 1

 

A 3

 

 

 

 

Путем элементарных преобразований строк получим нули ниже главной

диагонали сначала в первом столбце с помощью первой строки:

 

A1

 

 

 

1

1

4

1

1

0

1

1

4

1 1

0

B 1

 

 

 

A 1

A

E A 2

 

A 2 2 A 1 0

1

7

2

3

0

0

1

7

2 3

0

B2

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A 3

 

 

0

2

13

3

3

1

0

2

13

3 3

1

B3

 

 

A3 3A 1

 

 

 

 

 

 

 

 

6

Теперь получим нули ниже и выше главной диагонали во втором столбце

с помощью второй строки и затем в третьем столбце с помощью третьей

строки:

 

 

 

 

 

B 1

 

 

B1 B2

 

 

1

0

11

3

4

0

C 1

 

 

 

C 1 11C3

 

 

A

 

E

 

B

 

 

 

 

B

 

 

 

 

0

1

7

2

3

0

 

 

C

 

 

 

C

 

7C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

2

 

 

 

0

0

1

1

3

1

 

 

 

2

 

 

 

2

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

B3

 

B3 2B2

 

 

 

 

C3

 

 

 

 

C3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

0

0

 

 

8

 

29

 

11

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

1

0

 

 

5 18

 

7

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

0

1

 

 

1

 

3

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Получили A 1

 

 

8

 

29

11

Проверим, что A A 1

E :

 

 

 

 

 

 

5

 

18

 

7

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

3

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

4

5

8

29

11

24 20 5

87 72 15

33 28 5

 

A A 1

2

3

1

 

 

5

18

7

 

 

16 15 1

58 54 3

22 21 1

 

 

 

 

 

 

3

5

1

 

 

1

3

1

 

 

24 25 1

87 90 3

33 35 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

0

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

1

0

E.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

0

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

7

Соседние файлы в предмете Дополнительные главы математики
Помощь Обратная связь Вопросы и предложения Пользовательское соглашение Политика конфиденциальности