Практика 11
..pdf
Практика 11
ДЕЙСТВИЯ СМАТРИЦАМИ
Пример 1.
Вычислить произведения матриц:
|
|
|
|
|
|
|
3 |
2 3 |
4 |
|
1 |
3 |
2 2 5 |
|
6 |
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
4 1 |
|
1 2 |
|
5 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
1) |
|
|
4 |
|
|
2 |
|
; 2) |
|
|
. |
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
5 |
|
|
2 |
5 3 |
|
1 3 |
|
2 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
Решение. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
1). |
Пусть строки матрицы |
|
A |
3 |
|
2 |
есть |
|
A1, A2, |
а столбцы матрицы |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
4 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
3 |
4 |
есть B1, B2 . Тогда по определению произведения матриц |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
B |
2 |
5 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
A B |
A1 B1 |
|
A1 B2 |
3 3 2 2 |
|
3 4 2 5 |
5 2 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
A |
2 |
B |
1 |
|
A |
2 |
B |
2 |
|
5 3 |
|
4 |
|
2 |
|
5 4 |
|
4 |
|
5 |
7 |
0 . |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
3 |
2 |
|
|
|
2 |
|
5 6 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
2). |
Аналогично, если A |
|
3 |
4 |
1 |
|
|
B |
|
|
1 |
|
2 |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
, |
|
|
, то |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
5 |
3 |
|
|
|
|
|
1 |
|
3 2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
AB AB |
|
|
AB |
|
|
|
2 3 2 |
|
|
5 6 6 |
|
6 15 4 |
1 5 |
5 |
||||||||||||||||||||||
|
|
1 |
1 |
|
1 |
2 |
|
1 |
3 |
|
|
6 4 1 |
|
|
15 8 3 |
|
18 20 2 3 10 |
0 . |
||||||||||||||||||||
AB A2B1 A2B2 |
|
A2B3 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
A B A B |
|
A B |
|
|
|
|
4 5 3 10 10 9 12 25 6 |
2 9 |
7 |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
3 1 |
|
3 2 |
|
3 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
Пример 2. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
1 n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
Вычислить 3 |
|
2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
Решение.
Вычислим сначала:
3 |
2 |
|
3 |
2 3 |
2 |
6 6 |
3 4 |
0 |
1 . |
2 |
1 |
2 |
2 |
1 2 |
1 |
4 3 |
2 2 |
1 0 |
|
Тогда
2 1 |
3 |
1 |
0 |
2 |
1 |
|
|
2 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
||||
3 |
2 |
|
0 |
1 |
3 |
2 |
3 |
|
2 ; |
|
|
|
|
|
|
||||||
2 |
1 4 |
2 |
1 2 |
1 |
|
1 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
0 |
1 |
. |
|
|
|
|
|
|
||||
3 |
2 |
|
3 |
2 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Таким образом, если n 2k |
|
|
|
|
2 |
1 |
n |
|
2 |
1 |
|
2k |
1 0 |
. |
|||||||
(четное), то 3 |
|
2 |
|
|
3 |
2 |
|
0 1 |
|||||||||||||
|
|
|
|
2 |
1 |
n |
|
2 |
|
1 |
|
2k 1 |
|
2 |
1 |
. |
|
||||
Если n 2k 1 (нечетное), то 3 |
2 |
|
3 |
|
2 |
|
|
3 |
2 |
|
|||||||||||
Пример 3.
Найти матрицу D AB BTC, если
1 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 1 , С 1 |
1 1 |
0 . |
||
A |
1 |
1 |
, B 0 3 |
||||||
1 |
1 |
1 0 |
1 |
0 |
1 |
1 1 |
1 |
||
|
2 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Решение.
Число сток матрицы A равно числу столбцов матрицы B, следова-
тельно, произведение AB существует. Вычислим его.
|
|
|
1 |
0 |
0 3 2 1 |
0 3 2 |
1 |
|
||||||||
|
|
AB |
1 |
1 |
1 3 1 |
1 |
|
|||||||||
|
|
1 1 |
|
1 |
0 1 |
0 |
|
1 3 |
3 |
1 |
. |
|
||||
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
3 6 1 |
2 |
|
|
|||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
0 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Запишем BT 3 |
|
0 . |
Число |
строк |
матрицы |
BT |
равно числу |
|||||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
столбцов матрицы C , поэтому произведение |
BTС существует. |
|
||||||||||||||
|
|
0 |
1 |
1 1 1 |
0 |
|
1 1 1 |
1 |
||||||||
B |
T |
3 |
0 |
|
3 |
3 3 |
|
0 |
||||||||
|
С |
2 |
1 |
1 1 1 |
1 |
|
3 |
3 1 |
|
1 |
. |
|||||
|
|
|
1 |
0 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
1 1 0 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Матрицы AB и BTС одного размера, следовательно, их можно сло-
|
|
|
|
|
|
0 |
3 |
2 |
1 |
|
1 |
1 1 |
1 |
|
1 |
4 |
3 |
2 |
||||||
жить: AB B |
T |
C |
1 |
3 |
1 |
1 |
|
3 |
3 3 |
0 |
|
4 |
0 |
4 |
1 |
|||||||||
|
|
1 |
3 |
3 |
1 |
|
|
3 |
3 1 |
1 |
|
|
4 |
6 |
2 |
2 |
. |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
3 |
6 |
1 |
2 |
|
|
|
1 |
1 1 |
0 |
|
|
|
2 |
7 |
0 |
2 |
|
|
|
Пример 4. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
Найти |
|
значение |
многочлена |
f x 2x2 x 3 |
от |
матрицы |
||||||||||||||||
|
1 |
0 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A |
|
1 |
1 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
3 |
4 |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Решение. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Запишем многочлен от матрицы |
|
f A 2A2 |
A 3E , E – единичная |
|||||||||||||||||
матрица размера 3. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вычислим A2 |
|
|
|
1 |
0 2 1 |
|
0 2 |
|
7 8 |
12 |
|
|||||||||
A A 1 |
1 0 1 |
1 |
0 2 |
1 |
2 . |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
3 |
4 5 |
|
|
|
|
|
|
|
14 24 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
3 |
|
4 5 |
|
|
31 |
|
||||||||
|
|
|
7 8 |
12 |
|
1 |
0 2 |
|
|
1 0 |
0 |
|
||||||||
Запишем f A 2 2 |
1 |
2 1 |
1 |
0 3 0 |
1 |
0 |
||||||||||||||
|
|
|
|
14 24 |
|
|
|
3 |
4 5 |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
31 |
|
|
|
|
|
0 0 |
1 |
|
||||||||
14 16 |
24 |
1 0 |
2 |
|
3 |
0 0 |
|
16 16 |
22 |
|||||||||||
|
4 2 |
4 |
|
|
1 |
1 0 |
|
|
|
0 |
3 0 |
|
|
|
3 4 |
4 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|||||||||||
|
28 48 |
62 |
|
|
3 |
4 |
5 |
|
|
|
0 |
0 3 |
|
|
|
25 44 |
60 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
Пример 5. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
|
Найти все матрицы, перестановочные с матрицей A |
. |
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
4 |
|
Решение.
Матрицы A и B называются перестановочными, если AB BA. Пусть
|
|
. Найдем произведения |
AB и BA: |
|
матрица B |
|
|
||
|
|
|
|
|
1 2 |
|
|
|
2 |
2 |
|
; |
AB 3 4 |
|
|
3 4 |
3 4 |
|||
|
|
1 |
2 |
3 |
2 4 |
|
|
BA |
|
3 |
4 3 |
2 4 |
. |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
Матрицы равны, если равны их соответствующие элементы. Получим систему с неизвестными , , , .
2 3 , |
2 3 , |
2 2 4 , |
2 2 3 , |
3 4 3 , |
3 3 3 , |
|
|
3 4 2 4 , |
3 2 . |
Так как последнее уравнение совпадает с первым, а второе будет про- |
|
порционально третьему, если 3 |
заменить на 2 , то получим равносильную |
|
2 3 , |
Имеем два уравнения с четырьмя неизвестными. Выбрав |
|
систему: . |
||
два неизвестных (например , ) за параметры, выразим оставшиеся ( , )
|
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
и матрица B |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
||||
через них. Получим: |
|
, |
|
|
3 |
|
. |
||
3 |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
||||
Примеры для самостоятельного решения
1). Вычислить произведение матриц:
|
2 |
3 |
9 |
|
6 |
|
1 |
3 |
0 |
3 |
|||||||
|
|
|
|
2 1 0 |
|
1 |
|||||||||||
1) |
|
4 |
6 |
|
6 |
|
|
; 2) |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
4 |
|
|
0 |
4 |
2 |
|
2 |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
0 |
0 |
|
|
|
6 |
1 |
|
4 |
|
|
|
|
|
|
||
Ответ: 1) |
; 2) |
|
7 |
3 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
||||||||
|
0 |
0 |
|
|
|
|
0 |
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
||||
|
1 |
0 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
2). Пусть A |
|
0 |
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. Показать, что An 2n 1A. |
||||||||||||||||
|
|
1 |
0 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
2 |
1 |
|
1 |
1 |
|
. |
||
1 |
0 |
|
|
Указание. Вычислить A2 , применить метод математической индукции.
3). |
|
|
Справедливо |
|
|
ли |
|
равенство |
|
A B 2 |
A2 2AB B2, |
если |
|||||||
|
|
4 1 0 |
|
2 |
2 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|||||||
A |
|
1 1 1 |
|
|
|
1 |
0 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
, B |
? |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
0 1 0 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
1 1 |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
Ответ: нет. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
4). |
|
|
Показать, |
что |
матрица A |
1 |
2 |
есть корень |
многочлена |
||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
3 |
|
|
|
|
f x x2 4x 3. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
5). |
|
|
Найти |
|
общий |
вид |
матрицы |
B |
третьего |
порядка, |
для |
которой |
|||||||
0 |
1 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
0 |
0 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
B . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
0 |
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
Ответ: |
B |
|
0 |
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
, , , – произвольные числа. |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||