Лекция 11
.pdf
Лекция 11
5.2. Определители и их свойства
Понятие определителя вводится только для квадратных матриц. По-
нятие определителя n −го порядка при n 2 , n 3 было введено в п. 1. Поня-
тие определителя n −го порядка ( n 3) связано с понятием минора и алгеб- |
|||||
раического дополнения элемента матрицы A . |
|
|
|||
Определение. |
Минор M i j элемента |
a i j |
матрицы A − определитель |
||
матрицы |
n 1 -го |
порядка, полученной |
из данной вычеркиванием i -ой |
||
строки и |
j -го столбца, |
|
|
|
|
Определение. |
Алгебраическиме дополнением |
элемента a i j матрицы |
|||
A называют число A i j ( 1)i j M i j . |
|
|
|
||
Например, для матрицы 2-го порядка |
a11 |
a12 |
имеем: |
||
|
|
||||
|
|
|
a21 |
a22 |
|
|
A11 ( 1)1 1 M11 a22 , |
|
A12 ( 1)1 2 M12 a21 , |
|
|
||||||||||
|
A 21 ( 1)2 1 M 21 a12 , |
A 22 ( 1)2 2 M 22 a11 , |
|
|
|||||||||||
|
a11 |
a12 |
|
a a |
22 |
a a |
21 |
a M |
11 |
a M |
12 |
a A a A . |
|||
|
|
||||||||||||||
|
a21 |
a22 |
|
11 |
12 |
11 |
12 |
11 |
11 |
12 |
12 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
a11 |
a12 |
Для матрицы 3-го порядка a21 |
a22 |
|
a32 |
a31 |
a13
a23 имеем:
a33
A |
11 |
|
a22 |
a23 |
|
, A |
12 |
|
a21 |
a23 |
, |
A |
13 |
|
a21 |
a22 |
, ... , A |
|
a11 |
a12 |
. |
||
|
|
a32 |
a33 |
|
|
|
|
|
a31 |
a33 |
|
|
|
a31 |
a32 |
33 |
|
a21 |
a22 |
|
|||
|
|
a11 |
a12 |
a13 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
a21 |
a22 |
a23 |
|
|
a11M11 a12M12 |
a13M13 |
a11A11 a12 A12 a13 A13. |
||||||||||||||
|
|
a31 |
a32 |
a33 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Определитель n го порядка вводится по индукции аналогичным обра-
зом через определители (n 1) - го порядка:
|
a11 |
a12 |
a1n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
det A |
a21 |
a22 |
a2 n |
a A |
a A |
12 |
a |
1 n |
A |
1 n |
. |
|
|
|
|
|
|
11 |
11 12 |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
a n1 |
a n 2 |
an n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
Краткая запись этого выражения имеет вид: det A a1 j A 1 j . |
|
|
||||
|
j 1 |
|
|
|
|
|
|
2 |
0 |
0 |
3 |
|
|
Пример 5.5. Вычислить определитель матрицы |
0 |
1 |
0 |
2 |
|
|
A |
2 |
5 |
7 |
1 |
. |
|
|
|
|
||||
|
|
3 |
3 |
4 |
||
|
1 |
|
||||
Решение. det A a11A11 a12 A12 |
a13 A13 a14 A14 |
|
|
|||||||||||||||||||||||
2 1 1 1 |
|
1 |
0 |
2 |
|
0 A12 0 A13 1 1 4 3 |
|
0 |
1 |
0 |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
5 |
|
7 |
1 |
|
|
2 |
5 |
7 |
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
3 |
|
3 |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
3 |
3 |
|
|
2 1 |
|
7 |
1 |
|
0 |
2 |
|
|
|
5 |
7 |
|
3 0 |
1 |
|
2 |
7 |
|
0 |
29. |
||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
3 |
4 |
|
|
|
3 |
3 |
|
|
1 |
3 |
|
||||||||||||||
Свойства определителей
1. Определитель транспонированной матрицы равен определителю ис-
ходной матрицы: det A T det A .
2. При перестановке местами двух соседних строк (столбцов) опреде-
литель меняет знак на противоположный.
3. Определитель с двумя пропорциональными строками (столбцами)
равен нулю.
4. Общий множитель строки (столбца) можно вынести за знак опреде-
лителя.
5. Определитель не изменится, если к некоторой строке (столбцу) при-
бавить другую строку (столбец), умноженную на число .
6. Определитель матрицы равен нулю тогда и только тогда, когда стро-
ки матрицы линейно зависимы.
Теорема разложения. Определитель матрицы равен сумме произве-
дений элементов любой строки (любого столбца) матрицы на A их алгебраи-
n
ческие дополнения, т.е. det A aij A ij i 1,..., n .
j 1
Теорема аннулирования. Сумма произведений элементов одной строки (столбца) матрицы на A на алгебраические дополнения элементов другой строки (столбца) равна нулю.
Теорема. Определитель произведения матриц равен произведению оп-
ределителей перемножаемых матриц: det( A B) det A det B .
Доказательство свойств опустим. Для определителей 2-го или 3-го по-
рядка их можно легко проверить непосредственным вычислением.
Часто определители удобно вычислять, используя их свойства. Напри-
мер, определитель удобно разлагать по строке (столбцу), содержащей нули,
использовать пропорциональность строк (столбцов) и т.д.
Пример 5.6. Показать, что определитель треугольной матрицы (содер-
жащий нули ниже или выше главной диагонали) равен произведению эле-
ментов главной диагонали.
Решение. Первый столбец содержит нули, поэтому удобно записать разложение определителя по элементам первого столбца:
|
a11 |
a12 |
a13 |
a1n |
|
|
a22 |
a23 |
a2n |
|
||
|
|
|
|
|||||||||
|
0 |
a22 |
a23 |
a2n |
|
|
|
|||||
|
|
|
0 |
a33 |
a3 n |
|
||||||
det A |
0 |
0 |
a |
33 |
a |
3n |
a |
|
0 0 . |
|||
|
|
|
|
|
11 |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
0 |
0 |
an n |
|
||||||
|
0 |
0 |
0 |
ann |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Продолжая разлагать по элементам первого столбца, получим:
|
a33 |
|
a3 n |
|
det A a11 a22 |
|
|
|
a11 a2 2 an n . |
0an n
Вчастности, у единичной матрицы a11 a2 2 an n 1, а остальные элементы − нули. Поэтому det E 1.
|
3 |
1 |
0 |
0 |
|
Пример 5.7. Вычислить определитель |
2 |
2 |
0 |
0 |
. |
|
1 |
3 |
1 |
0 |
|
|
1 |
5 |
3 |
5 |
|
Решение. Последний столбец содержит три нуля, поэтому удобно за-
писать разложение определителя по элементам этого столбца:
3 |
1 |
0 |
0 |
|
|
3 |
1 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
2 2 |
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
1 |
|
||||
5 ( 1)4 4 |
|
2 2 |
0 |
5 1 ( 1)3 3 |
|
||||||||||||||
1 |
3 |
1 |
0 |
|
|
1 |
3 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
2 |
|
1 |
5 |
3 |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
5 6 2 40. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
1 |
1 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Пример 5.8. Вычислить определитель |
|
|
0 |
1 |
2 |
1 |
|
. |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
1 |
2 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
1 |
6 |
1 |
|
|
|
|
|
Решение. Вычтем третью строку из четвертой, затем из последней строки вынесем общий множитель и получим две равные строки (вторую и четвертую):
2 |
1 |
1 |
0 |
|
2 |
1 |
1 |
0 |
|
2 |
1 |
1 |
0 |
|
0 |
1 |
2 |
1 |
|
0 |
1 |
2 |
1 |
2 |
0 |
1 |
2 |
1 |
0 . |
3 |
1 |
2 |
3 |
|
3 |
1 |
2 |
3 |
|
3 |
1 |
2 |
3 |
|
3 |
1 |
6 |
1 |
|
0 |
2 |
4 |
2 |
|
0 |
1 |
2 |
1 |
|