Добавил:

Engels Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Уральский Федеральный университет им. Б.Н. Ельцина «УПИ»

Предмет:

Дополнительные главы математики

Файл:

Практика 10

..pdf

Скачиваний:

Добавлен:

13.07.2025

Размер:

616.04 Кб

Скачать

☆

Практика 10

КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА

Алгебраическая форма комплексного числа z x i y, где x Rez – дей-

ствительная часть, x R;

y Imz – мнимая часть,

y R;i –

мнимая

единица,

i2 1.

Модуль комплексного числа

x2 y2 .

Аргумент комплексного числа argz ,

причем tg

, cos

x2 y2

sin

x2 y2

Тригонометрическая форма комплексного числа: z

cos isin .

Показательная форма комплексного числа: z z ei .

Комплексное число z x i y- сопряженное комплексному числу

z x i y.

Операции над комплексными числами в алгебраической форме практи-

чески совпадают с операциями над линейными многочленами с учетом ра-

венства i2 1.

Формула Муавра: zn rn cosn isinn ,n N .

Корни степени n N из комплексного числа z r cos isin – вы-

числяются по формуле:

			2 k	2 k		, где k 0,1,...,n 1 .


k n	z	cos		i sin
			n		n

Пример 1.

Доказать равенство z z z 2 .

Решение.

Пусть комплексное число z x i y. Тогда z x i y:

z z x iy x iy x2 ixy iyx iy 2 x2 i2 y2 x2 y2 z 2 .

Пример 2.

Представить число z в алгебраической форме, изобразить на ком-

										1		1			;	1 i 3
плексной плоскости. Найти его модуль и аргумент: 1)																2)		.
плексной плоскости. Найти его модуль и аргумент: 1)																2)		.
										1 4i			4 i				1 i
	Решение.
1).		1	1	1	1 4 i	1	4 i		1 4i		4 i			1 4i 4 i
1).
	1 4i		4 i	1 4i 1 4i		4 i 4 i		1 16		16 1						17

5 3i 5 3 i .

17 17 17

Число z получили в алгебраической форме. Изобразим его на комплексной плос-

кости (рис.51).

Найдем модуль и аргумент комплексно-

		z	5	2	3	2		34

го	числа:								,

			17		17		17

	3
argz arctg		.
argz arctg	5	.
	5

2).

1 i 3

1 i

1 i 3

1 2 i i2 3

1 i

1 1

1 i

i 3 i.

Из чертежа (рис.52) видно, что z 1, argz .

Пример 3.

Рис. 51

Рис. 52

Решить систему линейных уравнений 3 i z1 4 2i z2		1 3i,
4 2i z 2 3i z		2	7.
	1

Решение.
Определитель	системы:	3 i	4 2i	(3 i)( (2 3i))

		4 2i	2 3i
(4 2i)(4 2i) 6 9i 2i 3i2 16 16i (2i)2			21 23i 0.		Поэтому

система имеет единственное решение, которое найдем методом Крамера.

Вычислим определители:

1 3i

4 2i

21 23i ,

3 i

1 3i

23 21i.

2 3i

4 2i

Тогда z

21 23i

1, z

23 21i

i 23i 21

21 23i

Пример 4.

Изобразить на комплексной плоскости множество всех точек, удовле-

творяющих условиям:

1) 0 Imz 3;

z z0

где z0 C, R R- заданные числа;

z i

z 2

Решение.

1).

Так как Imz y, то заданное не-

равенство

принимает

вид:

0 y 3, x R,

определяет

горизон-

тальную полосу (рис.53).

2).

Пусть

z x iy, z0 x0

iy0. То-

Рис. 53

гда

z z0

x x0 i y y0 ,

z z

x x

y y 2 .

Условие

z z0 R может быть записано в виде:

x x0 2 y y0 2 R2.

Это соотношение определяет круг с центром в точке x0;y0 радиуса R (рис.54).

3	Рис. 54

3). Равенству

z i

z 2

удовлетворяют

все точки z комплексной плоскости, равноуда-

ленные от точек z1 i и z2 2. Эти точки обра-

зуют серединный перпендикуляр отрезка с кон-

цами z1 и z2 (рис.55).

Пример 5.																																	Рис. 55
Найти корни уравнений: 1) 4																						1 i,			2) 2 3 4i.
Решение.
1). Комплексное число z 1 i																						представим в тригонометрической фор-

ме. Для этого найдем														его модуль и аргумент:																z			1 2 12			,
ме. Для этого найдем														его модуль и аргумент:																z			1 2 12		2	,
sin	1		,	cos						1								3		.
sin			,	cos																.
2								2					4
																			z							3	isin				3
																										3					3
Тригонометрическая форма:																							2 cos									.
Тригонометрическая форма:																							2 cos									.
																									4				4
Корни четвертой степени из z (рис.56):
				2									3 /4 2 k											3 /4 2 k
			Рис. 56	k		8		2 cos											isin									,	k 0,1,2,3 2
			Рис. 56	k		8		2 cos					4						isin				4					,	k 0,1,2,3 2
													4										4
				8								3		isin	3
												3			3
		0				2 cos														,
		0				2 cos														,
								16					16
		8					cos				11			isin		11				,
					2						11					11
					2
1								16					16
								16					16
										19					19


	2		8		2		cos							isin								,												8 2
	2		8		2		cos							isin								,												8 2
								16					16
			8				cos		27					isin			27				.
					2				27								27
					2
3								16					16
								16					16

Рис. 56

2). Представим комплексное число z 3 4i в виде полного квадрата:

3 4i (4 1) 2 2 i 22 2 2 i i2 2 i 2 2 i 2 .

Тогда уравнению 2 3 4i удовлетворяют два комплексных числа

1 2 i, 2 2 i.

Примеры для самостоятельного решения

1). Выполнить указанные операции. Результат представить в тригономет-

рической и алгебраической формах.

1) 1 i 3 i 1 i 3 i ; 2)

; 3) 2i i2 2 1 3i 2 .

3 i

Ответ: 1)

i; 2)

i; 3) 11 2i.

2). Доказать равенства

а)

2Rez; б)

2i Imz; в)

г) z z ; д) z1 z2 z1 z2 ; е) z1z2 z1 z2 ; ж) z1/z2 z1/z2 .

Указание. Представить комплексное число в алгебраической форме и

воспользоваться равенством z x i y.

3). Решить системы линейных уравнений:

2 i z 2 i z			6,		iz z			i,
1)	1	2		8;	2)	1	2			i 1 .
3 2i z 3 2i		z		8;	i 1 z i 1 z				2	i 1 .
	1			2				1	2

Ответ: 1)	z1 2 i, z2			2 i ; 2)		z1 1 ic, z2 c, c R.

4). Изобразить на комплексной плоскости множество всех точек, удовле-

творяющих условию: 1) Rez 5; 2) z 1 2; 3) z 1 Rez.

Ответ: 1) полоса 5 x 5; 2) окружность, центр 1;0 , R 2;

3) y2 1 2x .

5). Найти корни из комплексных чисел и изобразить их на комплексной


плоскости: а) 5 9 ; б) 3 2			3 2i .

Соседние файлы в предмете Дополнительные главы математики

#
13.07.2025212.51 Кб0Лекция 6.pdf
#
13.07.2025283.76 Кб0Лекция 7.pdf
#
13.07.2025209.34 Кб0Лекция 8.pdf
#
13.07.2025264.7 Кб0Лекция 9.pdf
#
13.07.2025559.25 Кб0Практика 1..pdf
#
13.07.2025616.04 Кб0Практика 10..pdf
#
13.07.2025477.85 Кб0Практика 11..pdf
#
13.07.2025441.22 Кб0Практика 12..pdf
#
13.07.2025203.94 Кб0Практика 13.pdf
#
13.07.2025220.02 Кб0Практика 14.pdf
#
13.07.2025226.59 Кб0Практика 15.pdf