Лекция 10

Лекция 10

5.МАТРИЦЫ И ОПРЕДЕЛИТЕЛИ

5.1.Понятие матрицы. Действия с матрицами

Определение. Прямоугольной матрицей размера m n называется со-

вокупность m n чисел, расположенных в виде прямоугольной таблицы, со-

держащей m строк и n столбцов.

столбца. Таким образом, a 23 обозначает элемент, стоящий во второй строке

и третьем столбце.

Отметим, что матрица не имеет числовой величины. Это просто услов-

Любая матрица, имеющая одинаковое число строк и столбцов ( m n ),

называется квадратной матрицей порядка n . Её элементы a11, a22 , , ann

составляют главную диагональ, а элементы a 1 n, a 2 n 1, , a n 1 − побочную диа-

гональ. При m n 1 матрица состоит из одного числа и отождествляется с ним.

Важную роль в теории матриц играют следующие частные виды мат-

риц:

1

треугольная матрица – квадратная матрица, в которой все эле-

менты выше (ниже) главной диагонали равны нулю

диагональная матрица – квадратная матрица, в которой отличны от нуля только элементы главной диагонали

единичная матрица – скалярная матрица при 1

2

нулевая матрица – матрица, все элементы которой равны нулю.

Действия с матрицами

1). Две матрицы A a i j и B b i j называются равными, если они

2). Сумма A B матриц A и B одного размера m n есть матрица C

того же размера, где c i j a i j b i j .

Из определения суммы матриц следует, что операция сложения матриц обладает теми же свойствами, что и операция сложения действительных чи-

сел:

A B B A (переместительное свойство),

( A B) C A (B C) (сочетательное свойство).

3). Операция умножения матрицы на число состоит в умножении

каждого элемента матрицы на это число: A A a i j .

Свойства операции: A A, , R ,

A A A ,

A B A B .

3

4). Операция умножения матрицы A m n на матрицу B k p опреде-

зывается матрица C AB размера m p , элементы которой получаются сле-

дующим образом:

каждая строка Ai матрицы A последовательно умножается на каждый столбец B j матрицы B и записывается в i -ю строку и j -й столбец матрицы

C :

3 2 . Условие равенства числа столбцов матрицы A числу строк матрицы B

выполнено, следовательно умножение матриц возможно. В результате полу-

4

Вычислим произведение BA :

т.е. AB b A.

Таким образом, произведение матрицы A на скалярную матрицу B

равносильно умножению матрицы A на число b .

5

Перечислим, не доказывая, некоторые свойства операции произведения

матриц:

(предполагаем, что все произведения имеют смысл).

5) Транспонированием матрицы называется операция замены строк матрицы её столбцами с сохранением их номеров.

рица.

Свойства операции транспонирования:

6