Лекция 9

К понятию комплексного числа привело

стремление решить уравнение

x2 1 0 и извлечь корень из отрицательного числа.

Определение. Комплексным числом

z

называется

выражение

вида

z x i y ,

где x, y – действительные числа,

i − так называемая мнимая единица,

i 2 1.

Числа x, y

называются соответственно действительной и мнимой частью

комплексного числа z и обозначаются

x Re z,

y Im z .

Если

x 0 , то число 0 i y i y

называется чисто мнимым, если y 0 , то

x i 0 x есть действительное число.

Два комплексных числа считаются равными, если

равны

их

действительные части и равны их мнимые части, т.е.

x1 i y1 x2 i y2

x1 x2 ,

y1 y2 .

Комплексные

числа

z x iy

и

z

x iy ,

отличающиеся

знаком мнимой

части, называются комплексно-сопряженными.

Комплексное число

z x i y

изображается точкой М

y

M ( x, y)

плоскости

с координатами

x,

y

или ее радиус-вектором

y

71). Длина вектора

0

x

x

OM (рис.

OM называется модулем

Рис. 71

комплексного числа z и обозначается

или r :

x2 y 2 .

z

z

r

OM

Угол между радиус-вектором OM и положительным направлением оси

Ox называют

аргументом

комплексного

числа z .

Угол

определяется

Наряду

с

алгебраической

формой

z x i y комплексного

числа

рассмотрим еще две формы записи.

Так как

x r cos , y r sin

(рис.71),

то комплексное число z x i y

можно записать

в тригонометрической форме: z r cos i sin .

Введя

Пример

4.1.

Записать

комплексное

число

z 1 i

3

в

тригонометрической и показательной формах.

Решение.

Чтобы

записать

z

в

тригонометрической

форме,

найдем

его

модуль и

аргумент:

z

( 1)2

(

для правильного отыскания

3)2 2 , а

аргумента

рекомендуем

изобразить

число z на

плоскости

(рис. 72). Найдем

,

.

сначала острый угол

, дополнительный к углу : tg

3

Тогда

1

1

1

1

3

1) При сложении (вычитании)

двух комплексных

чисел

складываются

(соответственно вычитаются) их действительные и мнимые части, т.е.

.

(4.1)

z1 z2 (x1 x2 ) i( y1 y2 )

С геометрической точки зрения сложение (вычитание) комплексных чисел

равносильно

сложению

(вычитанию)

z

z

y

z1 z2

2

z

изображающих их векторов (рис.73). Отметим, что

1

1

z2

расстояние между комплексными точками z 1 и z2

x

равно

z 1 z2

.

Поэтому окружность с центром в

Рис. 73

точке z0 радиуса R имеет уравнение

z z0

R..

z1 z2 (x1 i y1) (x2 i y2 ) (x1x2 y1 y2 ) i (x1 y2 x2 y1) .

(4.2)

z1 z2

z1

z2

,

arg (z1 z2 ) arg z1 arg z2 .

(4.3)

Доказательство.

z1 z2 r1 (cos 1 i sin 1) r2 (cos 2 i sin 2 )

r r

(cos cos

2

sin sin

2

) i (sin

1

cos

2

cos

1

sin

2

)

1 2

1

1

r1 r2 cos( 1 2 ) i sin( 1 2 ) .

Поэтому

z1 z2

z1

z2

, arg (z1 z2 ) arg z1

arg z2 .

3) Деление комплексных чисел

определяется как

действие, обратное

умножению, т.е. z

z1

, если

z z

2

z . Практически,

при делении двух

z2

1

дроби

z1

(z2 0) умножить на число, сопряженное знаменателю; тогда

z2

делителем будет действительное число:

z

a1 ib1

(a1 ib1) (a2 ib2)

(a1a2 b1b2) i(b1a2

a1b2)

1

.

(4.4)

z2

a2

ib2

(a2

ib2) (a2 ib2)

a22 b22

Например,

2 5i

(2 5i)(7 3i)

14 15i 2

35i 6i

29 29i

1

1

i .

7 3i

(7 3i)(7 3i)

49 9i 2

49 9

2

2

z1

r 1 (cos 1 i sin 1)

r1

cos (

2

) i sin (

2

)

,

z2

r2 (cos 2 i sin 2)

r2

1

1

.

(4.5)

z1

r1 e

i 1

r1

e

i (

)

1

2 .

z2

r e i 2

r2

2

Доказательство.

Обозначим

z1

z,

тогда

z 1 z z2 .

По теореме об

z2

умножении комплексных чисел:

z1

z

z2

, arg z1

arg z arg z2 .

Отсюда

z

z1

,

arg z arg z

arg z

.

z2

1

2

i 2 1, i 3

i 2 i i,

i 4 i 2 i 2 1 и т.д. Например, используя формулу куба

разности, получим: (2 i)3 23 3 22

i 3 2 i 2

i 3

8 12i 6 i 2 11i.

При

возведении

комплексного

числа z

в

большую степень удобно

z n r n (cos n i sin n ) r ne i n .

(4.6)

его модуль и аргумент:

y

1

1

z

z

r

2 12 2,

tg

,

.

3

x

6

3

0

3

Тогда

z 6

r 6 (cos 6 i sin 6 ) 26

(cos i sin ) 64.

Рис. 74

многочлен

a0 z n a 1z n 1 an

с действительными коэффициентами

a0 , a 1, , an

подставить вместо z

число i , а затем комплексно-сопряженное

i , то

и результаты этих

подстановок будут комплексно-сопряженными:

действие, обратное возведению в степень, т.е.

n

z

w, если wn z .

При извлечении корня из комплексного числа z удобно использовать

тригонометрическую

форму

записи

комплексного

числа.

Пусть

z r(cos i sin ) , w (cos i sin ) . Так как w n z, то

n r,

n 2 k

или n

,

2 k

.

r

n

n

n

2 k

2 k

z

r cos

i sin

,

k 0, n 1

.

(4.7)

n

n

Аналогично, wn 1 w1 ,

wn 2 w2 ,... . Итак,

для любого z 0

корень степени n из числа z имеет n

различных значений.

z 3

3

cos

2 k

i sin

2 k

.

1

cos i sin

3

3

Придавая k значения 0,1, 2 , получим три корня уравнения:

1

z0 cos

i sin

i

3

,

y

2

2

3

3

z0

z 1 cos i sin 1,

600

5

5

1

z1

x

z 2 cos

i sin

i

3

.

1

3

3

2

2

z

2

Эти корни лежат на единичной окружности и делят

Рис. 75

12i 5

12i 9 4

12i (3i)2 22 (2 3i)2 (2 3i).

Если вы не

догадались о

таком

способе, то

можно

обозначить

x i y

и

возвести

это

равенство

в

квадрат:

12i 5

2

y

2

6

2

x

5 x2

5 x4 5 x2 36 0.

x2

2x y 12

Действительные

корни получившегося биквадратного уравнения x 2

Тогда y 3 и

z x iy (2 3i).